Dạng 2: Dùng cách tính thể tích để giải bài khối đa diện

Thí dụ 1: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng là r. Gọi hA, hB, h¬C, hD lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng: $\frac{1}{r} = \frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}$.
Ta lần lượt có: \(\frac{{{V_{O.BCD}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{d(O,\,\,(BCD)).{S_{\Delta BCD}}}}{{d(A,\,\,(BCD)).{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{r}{{{h_A}}}\),
tương tự, ta có \(\frac{{{V_{O.CDA}}}}{{{V_{B.CDA}}}} = \frac{r}{{{h_B}}}\), \(\frac{{{V_{O.DAB}}}}{{{V_{C.DAB}}}} = \frac{r}{{{h_C}}}\), \(\frac{{{V_{O.ABC}}}}{{{V_{D.ABC}}}} = \frac{r}{{{h_D}}}\).
Từ đó, suy ra:
\(\frac{{{V_{O.BCD}} + {V_{O.CDA}} + {V_{O.DAB}} + {V_{O.ABC}}}}{{{V_{ABCD}}}}\) = \( = \frac{r}{{{h_A}}} + \frac{r}{{{h_B}}} + \frac{r}{{{h_C}}} + \frac{r}{{{h_D}}}\)
⇔ \(1 = r\left( {\frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}} \right)\) ⇔ $\frac{1}{r} = \frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}$, đpcm.