Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4.
A. \(m=\frac{1}{3}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{2}{3}\)
D. \(m=\frac{3}{4}\)

Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) trên [0;2]
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = {x^2} + 2mx - 2\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - \sqrt {{m^2} + 2} \\ x = - m + \sqrt {{m^2} + 2} \end{array} \right. \end{array}\)
Do \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) nên \(- m - \sqrt {{m^2} + 2} < 0,\,\,0 < - m + \sqrt {{m^2} + 2} < 2\)
Mặt khác: \(y(0) = - 2m - \frac{1}{3} < 0;\,\,y(2) = 2m - \frac{5}{3} < 0\)
Ta có bảng biến thiên trong [0;2]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(y < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:
\(\begin{array}{l} S = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right|dx} = 4\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \frac{{4m + 10}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}. \end{array}\)