Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần )
Câu 1:
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
A. \(m \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\)
Câu 2:
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = - {x^3} + 3m{x^2} - 3(2m - 1)x + 1\) nghịch biến trên R.
A. m=1
B. Không có giá trị của m
C. \(m\neq 1\)
D. Luôn thỏa mãn với mọi giá trị của m
Câu 3:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2} - 1\). Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Câu 4:
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2017\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ;3} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - 1;3} \right)\)
Câu 5:
Cho hàm số \(y = \sin x - \cos x + \sqrt 3 x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
Câu 6:
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 7\) nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left( {0;1} \right)\)
B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1;0} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Câu 7:
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R.
A. \(m \in \left[ { - 2;2} \right]\)
B. \(m \in \left( { - 3;1} \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in R\)
Câu 8:
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số xác định trên R
B. Hàm số đồng biến trên R
C. Hàm số có cực trị
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
Câu 9:
Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{3x + 1}}\). Trong các khoảng sau, hàm số không nghịch biến trong khoảng nào?
A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {5;7} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)
D. \(\left( { - 1;2} \right)\)
Câu 10:
Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {x^3} + 3x + 1\)
B. \(y = \tan x\)
C. \(y = {x^2} + 2\)
D. \(y = 2{x^4} + {x^2}\)
Câu 1:
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
A. \(m \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\)
B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ { - m} \right\}\)
\(y' = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0\) khi m=-1, m=2.
Với m=-1 thì y=0 là hàm hằng.
Với m=2 thì y=2 là hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\\ y' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)
\(y' = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0\) khi m=-1, m=2.
Với m=-1 thì y=0 là hàm hằng.
Với m=2 thì y=2 là hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\\ y' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)
Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = - {x^3} + 3m{x^2} - 3(2m - 1)x + 1\) nghịch biến trên R.
A. m=1
B. Không có giá trị của m
C. \(m\neq 1\)
D. Luôn thỏa mãn với mọi giá trị của m
\(y' = - 3{x^2} + 6mx - 3\left( {2m - 1} \right)\)
\(\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\).
Với m=1 thì \(\Delta ' = 0\).
Suy ra \(y' \le 0,\forall x \in R\)
Khi đó hàm số nghịch biến trên R.
\(\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\).
Với m=1 thì \(\Delta ' = 0\).
Suy ra \(y' \le 0,\forall x \in R\)
Khi đó hàm số nghịch biến trên R.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2} - 1\). Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 4{\rm{x = 0}}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 2 \end{array} \right.\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 2 \end{array} \right.\).
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2017\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(\left( { - \infty ;3} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - 1;3} \right)\)
\(y' = 3{x^2} - 6x - 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = \sin x - \cos x + \sqrt 3 x\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = \sin x - \cos x + \sqrt 3 x\) có \(y' = \cos x + \sin x + \sqrt 3\). Ta thấy
\(\sin x + \cos x + \sqrt 3 = \sqrt 3 + \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) > \sqrt 3 - \sqrt 2 > 0\)
Nên hàm số đã cho luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\sin x + \cos x + \sqrt 3 = \sqrt 3 + \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) > \sqrt 3 - \sqrt 2 > 0\)
Nên hàm số đã cho luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 7\) nghịch biến trên khoảng nào?
A. \(\left( {0;1} \right)\)
B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 1;0} \right)\)
D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 7\) có \(y' = 4{x^3} - 4x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \pm 1\)
Xét dấu của y' ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \pm 1\).
Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)
Xét dấu của y' ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \pm 1\).
Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R.
A. \(m \in \left[ { - 2;2} \right]\)
B. \(m \in \left( { - 3;1} \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in R\)
TXĐ: D=R .
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3\) có \(y' = {x^2} + 2mx + 4\).
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi \(y' \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} 1 \ge 0\\ \Delta ' = {m^2} - 4 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2\)
Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3\) có \(y' = {x^2} + 2mx + 4\).
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi \(y' \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} 1 \ge 0\\ \Delta ' = {m^2} - 4 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2\)
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số xác định trên R
B. Hàm số đồng biến trên R
C. Hàm số có cực trị
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) có \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) có \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\)
Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{3x + 1}}\). Trong các khoảng sau, hàm số không nghịch biến trong khoảng nào?
A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {5;7} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)
D. \(\left( { - 1;2} \right)\)
\(D = R\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{3}} \right\}\)
\(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)nên hàm số luôn nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\).
\(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)nên hàm số luôn nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\).
Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(y = {x^3} + 3x + 1\)
B. \(y = \tan x\)
C. \(y = {x^2} + 2\)
D. \(y = 2{x^4} + {x^2}\)
Phương pháp:
Điều kiện đề hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
+ \(f(x)\) liên tục trên .
+ \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và số giá trị x để \(f'(x)=0\) là hữu hạn.
Lần lượt đi kiểm tra các hàm số.
Ta có A là phương án cần tìm vì \(y = {x^3} + 3x + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Chú ý: Hàm số \(y = \tan x\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Điều kiện đề hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
+ \(f(x)\) liên tục trên .
+ \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và số giá trị x để \(f'(x)=0\) là hữu hạn.
Lần lượt đi kiểm tra các hàm số.
Ta có A là phương án cần tìm vì \(y = {x^3} + 3x + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Chú ý: Hàm số \(y = \tan x\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\).