Xin giới thiệu: Bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của Hàm Số trích đề thi thử trường chuyên (phần 13)
Câu 1:
Hàm số \(y = \ln (x + 2) + \frac{3}{{x + 2}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(( - \infty ;1)\)
B. \(( 1;+ \infty)\)
C. \(\left ( \frac{1}{2};1 \right )\)
D. \(\left (- \frac{1}{2};+\infty \right )\)
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số \(y = x + m(\sin x + \cos x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).\)
B. \(- \frac{1}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
C. \(- 3 < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).\)
Câu 3:
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( 0;1)\)
C. \(\left( {-1; 0 } \right)\)
D. \(\left( {-1;1 } \right)\)
Câu 4:
Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
A. \(- 2 < m \le - 1\)
B. \(- 2 \le m < - 1\)
C. \(- \frac{3}{2} < m \le - 1\)
D. \(m \ge - 2\)
Câu 5:
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x + m}}\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
A. \(m \in \left( { - \frac{1}{2};2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
B. \(m \in \left( { - 1;2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
C. \(m \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right).\)
D. \(m \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right].\)
Câu 6:
Cho hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - x + 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\).
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\).
Câu 7:
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = m{x^3} + m{x^2} + m\left( {m - 1} \right)x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(m \le \frac{4}{3}\).
B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{4}{3}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
C. m=0 hoặc \(m \ge \frac{4}{3}\).
D. \(m \ge \frac{4}{3}\).
Câu 8:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?
A. \(m > - 1.\)
B. \(m \geq - 1.\)
C. \(- 1 \le m \le 1.\)
D. \(m \geq 1.\)
Câu 1:
Hàm số \(y = \ln (x + 2) + \frac{3}{{x + 2}}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(( - \infty ;1)\)
B. \(( 1;+ \infty)\)
C. \(\left ( \frac{1}{2};1 \right )\)
D. \(\left (- \frac{1}{2};+\infty \right )\)
Ta có \(y' = \frac{1}{{x + 2}} - \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{x - 1}}{{{{(x + 2)}^2}}} >0 \Leftrightarrow x>1 \Rightarrow y\) đồng biến trên khoảng \(( 1;+ \infty)\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số \(y = x + m(\sin x + \cos x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).\)
B. \(- \frac{1}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
C. \(- 3 < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).\)
Hàm số \(y = x + m(\sin x + \cos x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(y' = 1 + m(\cos x - \sin x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow \min \left( {1 + m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) (1)
Trước tiên ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(g(x) = \sin x - \cos x\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow 2\sin x.\cos x = {t^2} - 1\)
Ta có \({\left( {g(x)} \right)^2} = {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2} = 2 - {t^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le g(x) \le \sqrt 2 .\)
Do đó \(\left| {m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right| = \left| m \right|.\left| {\cos x - \sin x} \right| \le \left| m \right|\sqrt 2\)
\(\Rightarrow - \sqrt 2 \left| m \right| \le m\left( {\cos x - \sin x} \right) \le \sqrt 2 \left| m \right|.\)
Do đó (1) \(\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \left| m \right| \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
\(y' = 1 + m(\cos x - \sin x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow \min \left( {1 + m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) (1)
Trước tiên ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(g(x) = \sin x - \cos x\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow 2\sin x.\cos x = {t^2} - 1\)
Ta có \({\left( {g(x)} \right)^2} = {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2} = 2 - {t^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le g(x) \le \sqrt 2 .\)
Do đó \(\left| {m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right| = \left| m \right|.\left| {\cos x - \sin x} \right| \le \left| m \right|\sqrt 2\)
\(\Rightarrow - \sqrt 2 \left| m \right| \le m\left( {\cos x - \sin x} \right) \le \sqrt 2 \left| m \right|.\)
Do đó (1) \(\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \left| m \right| \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( 0;1)\)
C. \(\left( {-1; 0 } \right)\)
D. \(\left( {-1;1 } \right)\)
\(y = {x^4} - 2{x^2}\)
Ta có: \(y' = 4x({x^2} - 1),\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right..\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 1 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Ta có: \(y' = 4x({x^2} - 1),\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right..\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 1 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right).\)
A. \(- 2 < m \le - 1\)
B. \(- 2 \le m < - 1\)
C. \(- \frac{3}{2} < m \le - 1\)
D. \(m \ge - 2\)
Hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}.\)
\(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
Với \(m=\pm 2\) thì \(y' = 0,\forall x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến khi \(y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - m} \right)\) và \(\left( { - m; + \infty } \right).\)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 1} \right)\) thì \(1 \le - m \Leftrightarrow m \le 1.\)
Vậy \(- 2 < m \le - 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
\(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
Với \(m=\pm 2\) thì \(y' = 0,\forall x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng.
Vậy hàm số nghịch biến khi \(y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - m} \right)\) và \(\left( { - m; + \infty } \right).\)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 1} \right)\) thì \(1 \le - m \Leftrightarrow m \le 1.\)
Vậy \(- 2 < m \le - 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x + m}}\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
A. \(m \in \left( { - \frac{1}{2};2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
B. \(m \in \left( { - 1;2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
C. \(m \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right).\)
D. \(m \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right].\)
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x + m}},\) ta có:
\(y' = \frac{{(2x - 4)(x + m) - {x^2} + 4x}}{{{{(x + m)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}},\forall x \ne - m\)
Hàm số đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty )\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)(*)\\ x = - m \notin \forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m > - 1 \end{array} \right.\)
Ta có (*) \(\Rightarrow {x^2} + 2mx - 4m \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 2m(2 - x)(I)\)
+ TH1. Với x = 2 \(\Rightarrow {x^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) với mọi giá trị của m
+ TH2. Với \(2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow x \in {\rm{[}}1;2)\).
Khi đó (I)\(\Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in {\rm{[}}1;2) \Rightarrow 2m \le \mathop {m{\rm{in}}}\limits_{{\rm{[}}1;2)} {\rm{f}}(x)\)
+ TH3. Với \(2 - x < 0 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
Khi đó (I)\(\Leftrightarrow 2m \ge \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in (2; + \infty ) \Rightarrow 2m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} {\rm{f}}(x)\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{2 - x}},\) ta có \(f'(x) = - \frac{{x(x - 4)}}{{{{(2 - x)}^2}}};\forall x \ne 2\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 4 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}1;2)} f(x) = f(1) = 1\\ \mathop {\max }\limits_{(2; + \infty )} f(x) = f(4) = - 8 \end{array} \right.\)
Kết hợp các trường hợp, ta được \(- 1 < m \le \frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
\(y' = \frac{{(2x - 4)(x + m) - {x^2} + 4x}}{{{{(x + m)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}},\forall x \ne - m\)
Hàm số đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty )\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)(*)\\ x = - m \notin \forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m > - 1 \end{array} \right.\)
Ta có (*) \(\Rightarrow {x^2} + 2mx - 4m \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 2m(2 - x)(I)\)
+ TH1. Với x = 2 \(\Rightarrow {x^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) với mọi giá trị của m
+ TH2. Với \(2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow x \in {\rm{[}}1;2)\).
Khi đó (I)\(\Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in {\rm{[}}1;2) \Rightarrow 2m \le \mathop {m{\rm{in}}}\limits_{{\rm{[}}1;2)} {\rm{f}}(x)\)
+ TH3. Với \(2 - x < 0 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
Khi đó (I)\(\Leftrightarrow 2m \ge \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in (2; + \infty ) \Rightarrow 2m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} {\rm{f}}(x)\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{2 - x}},\) ta có \(f'(x) = - \frac{{x(x - 4)}}{{{{(2 - x)}^2}}};\forall x \ne 2\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 4 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}1;2)} f(x) = f(1) = 1\\ \mathop {\max }\limits_{(2; + \infty )} f(x) = f(4) = - 8 \end{array} \right.\)
Kết hợp các trường hợp, ta được \(- 1 < m \le \frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Cho hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - x + 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\).
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\).
\(y' = - {x^2} + 2x - 1\Leftrightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = m{x^3} + m{x^2} + m\left( {m - 1} \right)x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(m \le \frac{4}{3}\).
B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{4}{3}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).
C. m=0 hoặc \(m \ge \frac{4}{3}\).
D. \(m \ge \frac{4}{3}\).
TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = 2\) là hàm hằng nên loại m=0.
TH2: \(m \ne 0\). Ta có: \(y' = 3m{x^2} + 2mx + m\left( {m - 1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' = {m^2} - 3{m^2}\left( {m - 1} \right) \le 0}\\ {3m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{4}{3}}\\ {m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{4}{3}.\)
TH2: \(m \ne 0\). Ta có: \(y' = 3m{x^2} + 2mx + m\left( {m - 1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' = {m^2} - 3{m^2}\left( {m - 1} \right) \le 0}\\ {3m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{4}{3}}\\ {m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{4}{3}.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?
A. \(m > - 1.\)
B. \(m \geq - 1.\)
C. \(- 1 \le m \le 1.\)
D. \(m \geq 1.\)
Xét hàm số \(y = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + m}}\)
Ta có \(y' = \frac{{m\cos x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {m + 1} \right).\cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}};\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Với m=-1 ta có y=1 là hàm hằng, vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne - 1:\)
Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) khi \(y' \ge 0;\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Và y’=0 có hữu hạn nghiệm trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m + 1} \right).\cos x \ge 0}\\ {m \ne - \sin x} \end{array}} \right.,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m \ge 1.\)
Ta có \(y' = \frac{{m\cos x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {m + 1} \right).\cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}};\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Với m=-1 ta có y=1 là hàm hằng, vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m \ne - 1:\)
Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) khi \(y' \ge 0;\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Và y’=0 có hữu hạn nghiệm trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m + 1} \right).\cos x \ge 0}\\ {m \ne - \sin x} \end{array}} \right.,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m \ge 1.\)
Sửa lần cuối: