Câu 1:
Phương trình \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x\) có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}.\)
A. P = 2
B. P = 3
C. P = 9
D. P = 1
Câu 2:
Giải phương trình \(\ln (2x + 1) = 1.\)
A. \(x = \frac{{e + 1}}{2}\)
B. \(x = \frac{{e - 1}}{2}\)
C. \(x = \frac{9}{2}\)
D. \(x = \frac{{11}}{2}\)
Câu 3:
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x.\)
A. S = 2
B. S = 5
C. S =13
D. S = 25
Câu 4:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2\)
A. \(x > 4\)
B. \(4 < x < \frac{{37}}{9}\)
C. \(x > \frac{{37}}{9}\)
D. \(4 < x < \frac{{14}}{3}\)
Câu 5:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > 1\).
A. \(x>\frac{1}{2}\)
B. \(x<\frac{3}{4}\)
C. \(0<x<\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{1}{2}<x<\frac{3}{4}\)
Câu 6:
Giải phương trình \({\log _3}\left( {x - 9} \right) = 3.\)
A. x=18
B. x=36
C. x=27
D. x=9
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1.\)
A. \(S = \left( {0;1} \right)\)
B. \(S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)\)
C. \(S = \left( {1;8} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{8};3} \right)\)
Câu 8:
Giải phương trình \({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3.\)
A. \(x = 1 \pm 2\sqrt {17} .\)
B. \(x = 1 + 2\sqrt {17} .\)
C. \(x = 33\)
D. \(x = 5\)
Câu 9:
Tìm tập xác định D của hàm số y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}}.
A. \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\)
B. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;2} \right)\)
D. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right).\)
Câu 10:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{{x - 1}} > 2\).
A. \(S = \left( {1;\;1 + \sqrt 2 } \right)\)
B. \(S = \left( {1;\;9} \right)\)
C. \(S = \left( {1 + \sqrt 2 ;\; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {9;\; + \infty } \right)\)
Câu 11:
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3.\)
A. \(x=7\)
B. \(x=10\)
C. \(x=8\)
D. \(x=9\)
Câu 12:
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{3^{3x - 1}} - 1} \right) = 3.\)
A. \(x = 2.\)
B. \(x = 1.\)
C. \(x = \frac{8}{3}.\)
D. \(x = \frac{1}{3}.\)
Câu 13:
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1.\)
A. \(x = 8\)
B. \(x = 9\)
C. \(x = 6\)
D. \(x = 2\)
Câu 14:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) > 2.\)
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\)
B. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{5}{4}; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1;\frac{5}{4}} \right)\)
Câu 15:
Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức \(M\left( t \right) = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right),t \ge 0\) (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%.
A. Sau khoảng 23 tháng.
B. Sau khoảng 24 tháng.
C. Sau khoảng 25 tháng.
D. Sau khoảng 22 tháng.
Câu 16:
Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2.\)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 17:
Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2.\)
A. -20
B. -8
C. 3
D. -6
Câu 18:
Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1.\)
A. 4
B. -6
C. 12
D. 2
Câu 19:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.\)
A. \(\left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\).
B. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]\).
C. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
D. \(\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right]\).
Câu 20:
Tìm nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {3x - 5} \right) > 0.\)
A. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(S = R\)
Câu 21:
Đặt \(t = {\log _2}x\). Tìm các giá trị của t thỏa phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\).
A. t=3;t=-3
B. t=9;t=-9
C. t=3
D. t=9
Câu 22:
Phương trình \(\left( {{{\log }_2}x - 2} \right).{\log _2}x = \frac{3}{2}\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) trong đó \({x_1} > {x_2}\). Tính \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).
A. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 8\sqrt 2\)
B. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 4\sqrt 2\)
C. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 2\sqrt 2\)
D. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \sqrt 2\)
Câu 23:
Phương trình \({\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 24:
Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình {\log _3}x = \frac{{{{\log }_x}3x}}{{1 - {{\log }_x}9}}.
A. \(P = \frac{1}{3}\)
B. P=-1
C. P=1
D. P=27
Phương trình \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x\) có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}.\)
A. P = 2
B. P = 3
C. P = 9
D. P = 1
ĐK: \(5 - {2^x} > 0 \Leftrightarrow {2^x} < 5 \Leftrightarrow x < {\log _2}5\)
Khi đó: \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Rightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow - {2^{2{\rm{x}}}} + {5.2^x} - 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 0\\ {x_2} = 2 \end{array} \right.\)
Vậy \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0 + 2 + 0.2 = 2.\)
Khi đó: \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Rightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow - {2^{2{\rm{x}}}} + {5.2^x} - 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 0\\ {x_2} = 2 \end{array} \right.\)
Vậy \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0 + 2 + 0.2 = 2.\)
Giải phương trình \(\ln (2x + 1) = 1.\)
A. \(x = \frac{{e + 1}}{2}\)
B. \(x = \frac{{e - 1}}{2}\)
C. \(x = \frac{9}{2}\)
D. \(x = \frac{{11}}{2}\)
Tập xác định: \(D = \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Khi đó: \(\ln (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow 2x + 1 = e \Leftrightarrow x = \frac{{e - 1}}{2} > - \frac{1}{2}\)
Khi đó: \(\ln (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow 2x + 1 = e \Leftrightarrow x = \frac{{e - 1}}{2} > - \frac{1}{2}\)
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x.\)
A. S = 2
B. S = 5
C. S =13
D. S = 25
Điều kiện: \(x> 0\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x - 1 - {\log _3}x({\log _2}x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {1 - {{\log }_3}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _3}x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 > 0\\ x = 3 > 0 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x - 1 - {\log _3}x({\log _2}x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {1 - {{\log }_3}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _3}x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 > 0\\ x = 3 > 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2\)
A. \(x > 4\)
B. \(4 < x < \frac{{37}}{9}\)
C. \(x > \frac{{37}}{9}\)
D. \(4 < x < \frac{{14}}{3}\)
\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 4 > 0\\ x - 4 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 4\\ x < \frac{{37}}{9} \end{array} \right.\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > 1\).
A. \(x>\frac{1}{2}\)
B. \(x<\frac{3}{4}\)
C. \(0<x<\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{1}{2}<x<\frac{3}{4}\)
Điều kiện: \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)
Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > 1 \Leftrightarrow 2x - 1 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < \frac{3}{4}\)
Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm: \(\frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}.\)
Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > 1 \Leftrightarrow 2x - 1 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < \frac{3}{4}\)
Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm: \(\frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}.\)
Giải phương trình \({\log _3}\left( {x - 9} \right) = 3.\)
A. x=18
B. x=36
C. x=27
D. x=9
Ta có \(\dpi{100} {\log _3}\left( {x - 9} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 9 > 0\\ x - 9 = 27 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 36.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1.\)
A. \(S = \left( {0;1} \right)\)
B. \(S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)\)
C. \(S = \left( {1;8} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{8};3} \right)\)
Điều kiện: \({\log _{\frac{1}{2}}}x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow 0 < x < 1.\) Khi đó:
\({\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1 = {\log _3}3 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x < 3 = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)
\(\Leftrightarrow x > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}.\)
Kết hợp điều kiện tập nghiệm Bất phương trình là: \(S = \left( {\frac{1}{8};1} \right).\)
\({\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1 = {\log _3}3 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x < 3 = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)
\(\Leftrightarrow x > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}.\)
Kết hợp điều kiện tập nghiệm Bất phương trình là: \(S = \left( {\frac{1}{8};1} \right).\)
Giải phương trình \({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3.\)
A. \(x = 1 \pm 2\sqrt {17} .\)
B. \(x = 1 + 2\sqrt {17} .\)
C. \(x = 33\)
D. \(x = 5\)
Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l} x + 1 > 0\\ x - 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3\) (*)
Khi đó:
\({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\)
\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3} = 64 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm 2\sqrt {17} .\)
Kết hợp với (*) ta được \(x = 1 + 2\sqrt {17}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Khi đó:
\({\log _4}\left( {x + 1} \right) + {\log _4}\left( {x - 3} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\)
\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3} = 64 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm 2\sqrt {17} .\)
Kết hợp với (*) ta được \(x = 1 + 2\sqrt {17}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Tìm tập xác định D của hàm số y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}}.
A. \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\)
B. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;2} \right)\)
D. \(D = \left( { - 2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right).\)
Hàm số \(y = {\log _2}{\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}}\) xác định khi \({\left( {{x^3} - 8} \right)^{1000}} > 0 \Leftrightarrow {x^3} - 8 \ne 0 \Leftrightarrow {x^3} \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 2.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{{x - 1}} > 2\).
A. \(S = \left( {1;\;1 + \sqrt 2 } \right)\)
B. \(S = \left( {1;\;9} \right)\)
C. \(S = \left( {1 + \sqrt 2 ;\; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {9;\; + \infty } \right)\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{{x - 1}} > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{x - 1}} > 0\\ \frac{2}{{x - 1}} < \frac{1}{4} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ 8 < x - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 9.\)
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3.\)
A. \(x=7\)
B. \(x=10\)
C. \(x=8\)
D. \(x=9\)
Phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 > 0}\\ {x - 1 = {2^3}} \end{array} \Leftrightarrow x = {2^3} + 1 = 9} \right..\)
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{3^{3x - 1}} - 1} \right) = 3.\)
A. \(x = 2.\)
B. \(x = 1.\)
C. \(x = \frac{8}{3}.\)
D. \(x = \frac{1}{3}.\)
Điều kiện: \({3^{3x - 1}} - 1 > 0.\)
Phương trình tương đương: \({2^{3x - 1}} - 1 = 8 \Leftrightarrow {3^{3x - 1}} = 9 \Leftrightarrow 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1.\)
Phương trình tương đương: \({2^{3x - 1}} - 1 = 8 \Leftrightarrow {3^{3x - 1}} = 9 \Leftrightarrow 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1.\)
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1.\)
A. \(x = 8\)
B. \(x = 9\)
C. \(x = 6\)
D. \(x = 2\)
Cách giải: Điều kiện \(x > 1\)
Ta có \(lo{g_3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = {3^1} \Leftrightarrow x = {2^3} = 8.\)
Ta có \(lo{g_3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = {3^1} \Leftrightarrow x = {2^3} = 8.\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) > 2.\)
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\)
B. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{5}{4}; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1;\frac{5}{4}} \right)\)
Điều kiện \(x - 1 > 0\) hay \(x > 1\)
\({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) > 2 \Leftrightarrow x - 1 < 0,{5^2} \Leftrightarrow x < \frac{5}{4}\)
Kết hợp ta có \(1 < x < \frac{5}{4}.\)
\({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) > 2 \Leftrightarrow x - 1 < 0,{5^2} \Leftrightarrow x < \frac{5}{4}\)
Kết hợp ta có \(1 < x < \frac{5}{4}.\)
Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức \(M\left( t \right) = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right),t \ge 0\) (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%.
A. Sau khoảng 23 tháng.
B. Sau khoảng 24 tháng.
C. Sau khoảng 25 tháng.
D. Sau khoảng 22 tháng.
Giải bất phương trình \(75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) < 10 \Leftrightarrow 20\ln \left( {t + 1} \right) > 65 \Leftrightarrow \ln \left( {t + 1} \right) > \frac{{13}}{4}\) \( \Leftrightarrow \ln \left( {t + 1} \right) > \frac{{13}}{4} \Leftrightarrow t > {e^{\frac{{13}}{4}}} - 1 \approx 25.\)
Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2.\)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Ta có \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} - 1 > 0\\{2^x} - 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {\log _2}\frac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{5}{4}\).
Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2.\)
A. -20
B. -8
C. 3
D. -6
\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 1} \right| > 0}\\{\left| {x + 1} \right| = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3}\\{x + 1 = - 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 3}\\{x + 1 = - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = 2}\\{{x_2} = - 4}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = - 8\end{array}\)
Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1.\)
A. 4
B. -6
C. 12
D. 2
\({\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3.2^x} - 1 > 0\\{3.2^x} - 1 = {4^{x - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - {\log _2}3\,(1)\\\frac{{{2^{2{\rm{x}}}}}}{4} - {3.2^x} + 1 = 0(*)\end{array} \right.\)
Đặt \(t = {2^x},\) (*) trở thành:
\(\begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{4} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6 - 4\sqrt 2 \\t = 6 + 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 6 - 4\sqrt 2 (Thoa\,\,(1))\\{2^x} = 6 + 4\sqrt 2 \,(Thoa\,(1))\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\\x = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\\{x_2} = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left[ {\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)} \right] = {\log _2}4 = 2\end{array}\)
Đặt \(t = {2^x},\) (*) trở thành:
\(\begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{4} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6 - 4\sqrt 2 \\t = 6 + 4\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 6 - 4\sqrt 2 (Thoa\,\,(1))\\{2^x} = 6 + 4\sqrt 2 \,(Thoa\,(1))\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\\x = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {\log _2}\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\\{x_2} = {\log _2}\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _2}\left[ {\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right)\left( {6 + 4\sqrt 2 } \right)} \right] = {\log _2}4 = 2\end{array}\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.\)
A. \(\left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right)\).
B. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right]\).
C. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
D. \(\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right]\).
\(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{{1 - 2x}}{x} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 2x}}{x} > 0\\\frac{{1 - 2x}}{x} \le 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - 2x}}{x} > 0\\\frac{{1 - 3x}}{x} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x \ge \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}\end{array}\)
Tìm nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {3x - 5} \right) > 0.\)
A. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\)
D. \(S = R\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {3x - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 5 > 0\\{\log _{\sqrt 2 }}\left( {3x - 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 5 > 0\\3x - 5 > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 3x - 5 > 1 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow S = \left( {2; + \infty } \right)\end{array}\)
IV. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp đặt ẩn Phụ
IV. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp đặt ẩn Phụ
Đặt \(t = {\log _2}x\). Tìm các giá trị của t thỏa phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\).
A. t=3;t=-3
B. t=9;t=-9
C. t=3
D. t=9
Điều kiện: x>0
Ta có:
\(\begin{array}{l} {\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_2}x} \right) = \frac{{81}}{{24}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}^4x = 81 \end{array}\)
Suy ra: \({t^4} = 81 \Leftrightarrow t = \pm 3\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} {\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_2}x} \right) = \frac{{81}}{{24}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}^4x = 81 \end{array}\)
Suy ra: \({t^4} = 81 \Leftrightarrow t = \pm 3\)
Phương trình \(\left( {{{\log }_2}x - 2} \right).{\log _2}x = \frac{3}{2}\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) trong đó \({x_1} > {x_2}\). Tính \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).
A. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 8\sqrt 2\)
B. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 4\sqrt 2\)
C. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = 2\sqrt 2\)
D. \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \sqrt 2\)
Điều kiện x>0.
\(\begin{array}{l} \left( {{{\log }_2}x - 2} \right).{\log _2}x = \frac{3}{2}\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 7{\log _2}x + 3 = 0 \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x\) ta có:
\(2{t^2} - 7t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\(t = 3 \Rightarrow {x_1} = 8.\)
\(t = \frac{1}{2} \Rightarrow {x_2} = \sqrt 2\)
\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2\)
\(\begin{array}{l} \left( {{{\log }_2}x - 2} \right).{\log _2}x = \frac{3}{2}\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 7{\log _2}x + 3 = 0 \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x\) ta có:
\(2{t^2} - 7t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
\(t = 3 \Rightarrow {x_1} = 8.\)
\(t = \frac{1}{2} \Rightarrow {x_2} = \sqrt 2\)
\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2\)
Phương trình \({\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Điều kiện \(0 < x \ne \frac{1}{3}\)
\(\begin{array}{l} {\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}\left( {\frac{3}{x}} \right)}}{{{{\log }_3}3x}} + {\log _3}^2x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} + {\log _3}^2x = 1 \Leftrightarrow \left( {1 - {{\log }_3}x} \right)\left[ {1 - {{\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)}^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _3}x = 1\\ 1 + {\log _3}x = \pm 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 1\\ x = \frac{1}{9} \end{array} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _{3x}}\left( {\frac{3}{x}} \right) + \log _3^2x = 1 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}\left( {\frac{3}{x}} \right)}}{{{{\log }_3}3x}} + {\log _3}^2x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} + {\log _3}^2x = 1 \Leftrightarrow \left( {1 - {{\log }_3}x} \right)\left[ {1 - {{\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)}^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _3}x = 1\\ 1 + {\log _3}x = \pm 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 1\\ x = \frac{1}{9} \end{array} \right. \end{array}\)
Tính P là tích tất cả các nghiệm của phương trình {\log _3}x = \frac{{{{\log }_x}3x}}{{1 - {{\log }_x}9}}.
A. \(P = \frac{1}{3}\)
B. P=-1
C. P=1
D. P=27
Điều kiện \(x > 0;x \ne 1\)
Phương trình \(\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_x}3}} = \frac{{{{\log }_x}3 + {{\log }_x}x}}{{1 - 2{{\log }_x}3}}\)
\(\Leftrightarrow 1 - 2{\log _x}3 = \left( {{{\log }_x}3 + 1} \right){\log _x}3\)
\(\Leftrightarrow {\log _x}^23 + 3{\log _x}3 - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_x}3 = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}}\\ {{{\log }_x}3 = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}} \end{array}} \right.\)
Khi đó \({\log _3}{x_1} = \frac{2}{{ - 3 + \sqrt {13} }};\) \({\log _3}{x_2} = \frac{2}{{ - 3 - \sqrt {13} }}\) .
Ta có: \({\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = 3\)\(\Leftrightarrow {\log _3}{x_1}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 27\)
Phương trình \(\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_x}3}} = \frac{{{{\log }_x}3 + {{\log }_x}x}}{{1 - 2{{\log }_x}3}}\)
\(\Leftrightarrow 1 - 2{\log _x}3 = \left( {{{\log }_x}3 + 1} \right){\log _x}3\)
\(\Leftrightarrow {\log _x}^23 + 3{\log _x}3 - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_x}3 = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}}\\ {{{\log }_x}3 = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}} \end{array}} \right.\)
Khi đó \({\log _3}{x_1} = \frac{2}{{ - 3 + \sqrt {13} }};\) \({\log _3}{x_2} = \frac{2}{{ - 3 - \sqrt {13} }}\) .
Ta có: \({\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = 3\)\(\Leftrightarrow {\log _3}{x_1}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 27\)