Câu 1:
Cho phương trình \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\) và các phát biểu sau:
(1) x=0 là nghiệm của phương trình
(2) Phương trình có nghiệm dương
(3) Cả 2 nghiệm của phương trình đã cho đều nhỏ hơn 1
(4) Phương trình có tổng 2 nghiệm là \(- {\log _5}\left( {\frac{3}{7}} \right)\)
Có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 2:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {{\log }_2}({x^2} + 2x + 1) - 3} }}\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B. \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;7} \right)\)
D. \(D = \left( {0;3} \right)\)
Câu 3:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)
A. \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)
C. \(S = \left[ {64; + \infty } \right]\)
D. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\)
Câu 4:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \(4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3.\)
A. \(S = \left( {5;\sqrt 5 } \right)\)
B. \(S = \left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{5};5} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{5};\sqrt 5 } \right)\)
Câu 5:
Xét phương trình \({\log ^4}{(x - 1)^2} + {\log ^2}{(x - 1)^3} = 25\,(*).\) Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 9{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
B. \((*) \Leftrightarrow 2{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
C. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
D. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}\left| {x - 1} \right| + 9{\lg ^2}\left| {x - 1} \right| = 25\)
Câu 6:
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2.\)
A. S=6
B. S=16
C. S=20
D. S=18
Câu 7:
Cho phương trình \({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2.\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Điều kiện xác định của phương trình là x>0
B. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=1
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=9
D. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Câu 8:
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5.\)
A. \(S = \frac{{65}}{{32}}\)
B. \(S = \frac{{33}}{{32}}\)
C. \(S =-4\)
D. \(S = \frac{{61}}{{32}}\)
Câu 9:
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1.\)
A. \(S = \frac{{33}}{{64}}\)
B. S=12
C. S=5
D. S=66
Câu 10:
Tìm m để phương trình \log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
A. \(m=\pm1\)
B. \(m=\pm3\)
C. \(m=\pm 2\)
D. Không tồn tại m
Câu 11:
Phương trình \log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là {x_1},{x_2}.Tính giá trị của biểu thức P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2} biết {x_1} < {x_2}.
A. \({t^2} - 2t - 3 = 0\)
B. \({t^2} - t - 3 = 0\)
C. \({t^2} + t - 3 = 0\)
D. \({t^2} -3t - 3 = 0\)
Câu 12:
Giải phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3x + 4} \right) = {\log _3}8\).
A. x=-4
B. x=1
C. x=1 hoặc x=-4
D. Phương trình vô nghiệm
Câu 13:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\).
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {0;1} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{3};1} \right)\)
Câu 14:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\).
A. \(\left( {0, + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ,0} \right)\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\)
Câu 15
Tìm tập nghiệm S của phương trình {\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x).
A. \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {0;2.3^{50}}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {0} \right\}\)
D. \(S = \mathbb{R}\)
Câu 16
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right)\)
B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)
C. \(S = \left[ {1;2} \right]\)
D. \(S = \left( {1;2} \right]\)
Cho phương trình \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\) và các phát biểu sau:
(1) x=0 là nghiệm của phương trình
(2) Phương trình có nghiệm dương
(3) Cả 2 nghiệm của phương trình đã cho đều nhỏ hơn 1
(4) Phương trình có tổng 2 nghiệm là \(- {\log _5}\left( {\frac{3}{7}} \right)\)
Có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
\({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0 \Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\).
Đặt \(t = {5^x}\left( {t > 0} \right)\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} 3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\\ t = 1 \Rightarrow x = 0\\ t = \frac{7}{3} \Rightarrow x = {\log _5}\frac{7}{3} \end{array}\)
Đặt \(t = {5^x}\left( {t > 0} \right)\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} 3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\\ t = 1 \Rightarrow x = 0\\ t = \frac{7}{3} \Rightarrow x = {\log _5}\frac{7}{3} \end{array}\)
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {{\log }_2}({x^2} + 2x + 1) - 3} }}\).
A. \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
B. \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;7} \right)\)
D. \(D = \left( {0;3} \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 3 > 0\,(*) \end{array} \right.\)
\(( * ) \Leftrightarrow {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) - 3 > 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < - 1\\ t > 3 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) < - 1\\ {\log _2}(x + 1) > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x + 1 < \frac{1}{2}\\ x + 1 > 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < - \frac{1}{2}\\ x > 7 \end{array} \right.\)
Vậy tâp xác định của hàm số là: \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
\(( * ) \Leftrightarrow {\log _2}{}^2\left( {x + 1} \right) - 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) - 3 > 0\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < - 1\\ t > 3 \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) < - 1\\ {\log _2}(x + 1) > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x + 1 < \frac{1}{2}\\ x + 1 > 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < - \frac{1}{2}\\ x > 7 \end{array} \right.\)
Vậy tâp xác định của hàm số là: \(D = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {7; + \infty } \right)\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)
A. \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)
C. \(S = \left[ {64; + \infty } \right]\)
D. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)\)
Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \(4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3.\)
A. \(S = \left( {5;\sqrt 5 } \right)\)
B. \(S = \left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{5};5} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{5};\sqrt 5 } \right)\)
Điều kiện \(x > 0;x \ne 1.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} 4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3 \Leftrightarrow 2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} = 3\\ \Leftrightarrow 2\log _5^2x - 3{\log _5}x + 1 = 0 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _5}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_5}x = 1}\\ {{{\log }_5}x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5}\\ {x = \sqrt 5 } \end{array}} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} 4{\log _{25}}x + {\log _x}5 = 3 \Leftrightarrow 2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} = 3\\ \Leftrightarrow 2\log _5^2x - 3{\log _5}x + 1 = 0 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _5}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_5}x = 1}\\ {{{\log }_5}x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5}\\ {x = \sqrt 5 } \end{array}} \right. \end{array}\)
Xét phương trình \({\log ^4}{(x - 1)^2} + {\log ^2}{(x - 1)^3} = 25\,(*).\) Phép biến đổi nào sau đây là đúng?
A. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 9{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
B. \((*) \Leftrightarrow 2{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
C. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}(x - 1) + 3{\lg ^2}(x - 1) = 25\)
D. \((*) \Leftrightarrow 16{\lg ^4}\left| {x - 1} \right| + 9{\lg ^2}\left| {x - 1} \right| = 25\)
\({\lg ^4}{(x - 1)^2} + {\lg ^2}{(x - 1)^3} = 25 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ {\left[ {2\log (x - 1)} \right]^4} + {\left[ {3\log (x - 1)} \right]^2} = 25 \end{array} \right.\)
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2.\)
A. S=6
B. S=16
C. S=20
D. S=18
\(\log _{\frac{1}{2}}^2x - {\log _2}{x^3} = - 2 \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0(*)\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Suy ra: \(S = {2^2} + {4^2} = 20\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Bất phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l} {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _2}x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Suy ra: \(S = {2^2} + {4^2} = 20\)
Cho phương trình \({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2.\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Điều kiện xác định của phương trình là x>0
B. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=1
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x=9
D. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _3}x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1.\)
\({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2 \Leftrightarrow 2{\log _3}x - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2\)
Đặt: \(t = \sqrt {2{{\log }_3}x} ,t \ge 0.\) Khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\,\,(Do\,\,t \ge 0)\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9.\)
\({\log _3}{x^2} - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2 \Leftrightarrow 2{\log _3}x - \sqrt {2{{\log }_3}x} = 2\)
Đặt: \(t = \sqrt {2{{\log }_3}x} ,t \ge 0.\) Khi đó phương trình trở thành:
\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2\,\,(Do\,\,t \ge 0)\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9.\)
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5.\)
A. \(S = \frac{{65}}{{32}}\)
B. \(S = \frac{{33}}{{32}}\)
C. \(S =-4\)
D. \(S = \frac{{61}}{{32}}\)
\(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Tìm S là tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1.\)
A. \(S = \frac{{33}}{{64}}\)
B. S=12
C. S=5
D. S=66
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 32\\ x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\ {t = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4}\\ {x = 8} \end{array}} \right. \end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\ {t = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4}\\ {x = 8} \end{array}} \right. \end{array}\)
Tìm m để phương trình \log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
A. \(m=\pm1\)
B. \(m=\pm3\)
C. \(m=\pm 2\)
D. Không tồn tại m
Đặt \(t = {\log _{\sqrt 3 }}x.\)
Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0.\)
Để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì phương trình \({t^2} - mt + 1 = 0\) phải có nghiệm kép.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0.\)
Để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì phương trình \({t^2} - mt + 1 = 0\) phải có nghiệm kép.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
Phương trình \log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là {x_1},{x_2}.Tính giá trị của biểu thức P = {\log _3}{x_1} + {\log _{27}}{x_2} biết {x_1} < {x_2}.
A. \({t^2} - 2t - 3 = 0\)
B. \({t^2} - t - 3 = 0\)
C. \({t^2} + t - 3 = 0\)
D. \({t^2} -3t - 3 = 0\)
Điều kiện \(x > 0\)
\(\log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {({\log _3}x)^2} - 2{\log _3}x - 3 = 0\)
Đặt \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 1 \end{array} \right.\)
\(\log _3^2x - 2{\log _{\sqrt 3 }}x - 2{\log _{\frac{1}{3}}}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {({\log _3}x)^2} - 2{\log _3}x - 3 = 0\)
Đặt \(t = {\log _3}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 1 \end{array} \right.\)
Giải phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3x + 4} \right) = {\log _3}8\).
A. x=-4
B. x=1
C. x=1 hoặc x=-4
D. Phương trình vô nghiệm
Điều kiện \({x^3} + 3x + 4 > 0\).
Phương trình \(\Leftrightarrow {x^3} + 3x + 4 = 8\)\(\Leftrightarrow {x^3} + 3x - 4 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 4} \end{array}} \right.\) .
Thử lại thì chỉ thấy x=1 thỏa mãn.
Phương trình \(\Leftrightarrow {x^3} + 3x + 4 = 8\)\(\Leftrightarrow {x^3} + 3x - 4 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 4} \end{array}} \right.\) .
Thử lại thì chỉ thấy x=1 thỏa mãn.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\).
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {0;1} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{3};1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x > 0\\ 3{x^2} + 1 > 4x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 3{x^2} - 4x + 1 > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x < \frac{1}{3}\\ x > 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\).
A. \(\left( {0, + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ,0} \right)\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {1 + {3^x}} \right)}} - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}^2\left( {1 + {3^x}} \right) - 2{\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_2}\left( {1 + {3^x}} \right) - 1} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow 1 + {3^x} \ne 2 \Leftrightarrow x \ne 0 \end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình {\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x).
A. \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {0;2.3^{50}}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {0} \right\}\)
D. \(S = \mathbb{R}\)
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right)\)
B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)
C. \(S = \left[ {1;2} \right]\)
D. \(S = \left( {1;2} \right]\)
Điều kiện x>1.
Khi đó ta có:
\(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(x \in \left( {1;2} \right]\)
Khi đó ta có:
\(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(x \in \left( {1;2} \right]\)