Câu 1:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right).\)
A. \(S = \left( {1;2} \right).\)
B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
Câu 2:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\)
C. \(S = \left\{ 3 \right\}\)
D. \(S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\)
Câu 3:
Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right).\)
A. \(T = \left( {2; + \infty } \right).\)
B. \(T = \left( {1; + \infty } \right).\)
C. \(T = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
D. \(T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2\) là:
A. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Câu 5:
Giải bất phương trình \({\log _2}4x < 3\).
A. 0<x<2
B. x<2
C. x>2
D. x>0
Câu 6:
Cho phương trình \({\log _3}({x^2} + 4x + 12) = 2\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Phương trình có hai nghiệm dương.
B. Phương trình có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
C. Phương trình có hai nghiệm âm.
D. Phương trình vô nghiệm.
Câu 7:
Phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính tích \({x_1}.{x_2}\)
A. -9
B. -15
C. -18
D. -21
Câu 8:
Phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2\) có một nghiệm có dạng \(a + {\log _2}b\). Tính tổng a+b.
A. a+b=7
B. a+b=5
C. a+b=3
D. a+b=1
Câu 9:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{6}}}\left[ {{{\log }_3}\left( {x - 2} \right)} \right] > 0\).
A. \(S = \left( {5; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( { - 4;1} \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;5} \right)\)
D. \(S = \left( {3;5} \right)\)
Câu 10:
Bất phương trình \((x - 3)(\log x + 1) < 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số
Câu 11:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\frac{{1 + 2x}}{x} < 0\).
A. \(S = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
B. \(S = \left( { - 1;0} \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 12:
Giải bất phương trình: \({\log _3}\frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} < 1\,\,\,(*)\).
Một học sinh giải như sau: .
Bước 1:[/B] \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} > 0\\ \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + 2x > 0\,\,(1)\\ x + 2 > 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.\)
Bước 2:[/B]
\((1) \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\,(3)\)
\((2) \Leftrightarrow x > 2\,(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra x>2.
Bước 3:[/B] Tập nghiệm của bất phương trình (*) là \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 1.
B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 3.
D. Lời giải đúng.
Câu 13:
Giải phương trình \({\log _4}\left( {x - 1} \right) = 3\).
A. x=63
B. x=65
C. x=82
D. x=80
Câu 14:
Giải bất phương trình \(lo{g_2}\left( {5x-3} \right) > 5\)
A. \(x > \frac{{13}}{5}\)
B. \(x>7\)
C. \(\frac{1}{7} < x < 7\)
D. \(x < 7\)
Câu 15:
Giải phương trình \(lo{g_3}\left( {2x-1} \right) = 2\).
A. x=15
B. \(x=\frac{1}{5}\)
C. x=25
D. x=5
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right).\)
A. \(S = \left( {1;2} \right).\)
B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\3{\rm{x}} - 3 > 0\\{x^2} - 1 > 3{\rm{x}} - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 2 \Leftrightarrow S = \left( {2; + \infty } \right).\end{array}\)
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\)
C. \(S = \left\{ 3 \right\}\)
D. \(S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\)
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\\{{{\log }_2}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 3}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{{x^2} - 1 = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow x = 3 \Leftrightarrow S = \left\{ 3 \right\}} \right.} \right..\end{array}\)
Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right).\)
A. \(T = \left( {2; + \infty } \right).\)
B. \(T = \left( {1; + \infty } \right).\)
C. \(T = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
D. \(T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
\(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\4{\rm{x}} - 4 > 0\\{x^2} > 4{\rm{x}} - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2\) là:
A. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {{\log }_{\frac{1}{2}}}4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{2x - 1 < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
III. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Mũ Hoá
III. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Mũ Hoá
Giải bất phương trình \({\log _2}4x < 3\).
A. 0<x<2
B. x<2
C. x>2
D. x>0
\({\log _2}4x < 3 \Leftrightarrow 0 < 4x < 8 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)
Cho phương trình \({\log _3}({x^2} + 4x + 12) = 2\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Phương trình có hai nghiệm dương.
B. Phương trình có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
C. Phương trình có hai nghiệm âm.
D. Phương trình vô nghiệm.
Ta có: \({x^2} + 4x + 12 > 0,\forall x\)
\(\begin{array}{l} {\log _3}({x^2} + 4x + 12) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 12 = {3^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = - 3 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _3}({x^2} + 4x + 12) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 12 = {3^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = - 3 \end{array} \right. \end{array}\)
Phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Tính tích \({x_1}.{x_2}\)
A. -9
B. -15
C. -18
D. -21
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
Phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2\) có một nghiệm có dạng \(a + {\log _2}b\). Tính tổng a+b.
A. a+b=7
B. a+b=5
C. a+b=3
D. a+b=1
Điều kiện: \({2^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2 \Leftrightarrow {2^x} - 1 = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {2^x} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {\frac{5}{4}} \right) \Leftrightarrow x = {\log _2}5 - 2 \end{array}\)
Vây a=-2; b=5 nên a+b=3.
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right) = - 2 \Leftrightarrow {2^x} - 1 = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {2^x} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {\frac{5}{4}} \right) \Leftrightarrow x = {\log _2}5 - 2 \end{array}\)
Vây a=-2; b=5 nên a+b=3.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{6}}}\left[ {{{\log }_3}\left( {x - 2} \right)} \right] > 0\).
A. \(S = \left( {5; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( { - 4;1} \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;5} \right)\)
D. \(S = \left( {3;5} \right)\)
\({\log _{\frac{\pi }{6}}}\left[ {{{\log }_3}\left( {x - 2} \right)} \right] > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _3}(x - 2) > 0\\ {\log _3}(x - 2) < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 1\\ 0 < x - 2 < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 5.\)
Bất phương trình \((x - 3)(\log x + 1) < 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số
\(\begin{array}{l} (x - 3)(\log x + 1) < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - 3 < 0\\ \log x + 1 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x - 3 > 0\\ \log x + 1 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} < x < 3 \end{array}\)
\(x \in \mathbb{Z}\Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
\(x \in \mathbb{Z}\Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\frac{{1 + 2x}}{x} < 0\).
A. \(S = \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
B. \(S = \left( { - 1;0} \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} {\log _3}\frac{{1 + 2x}}{x} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{x} > 0\\ \frac{{1 + 2x}}{x} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{x} > 0\\ \frac{{1 + x}}{x} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < - \frac{1}{2} \vee x > 0\\ - 1 < x < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 < x < - \frac{1}{2} \end{array}\)
Giải bất phương trình: \({\log _3}\frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} < 1\,\,\,(*)\).
Một học sinh giải như sau: .
Bước 1:[/B] \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} > 0\\ \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + 2x > 0\,\,(1)\\ x + 2 > 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.\)
Bước 2:[/B]
\((1) \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}\,(3)\)
\((2) \Leftrightarrow x > 2\,(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra x>2.
Bước 3:[/B] Tập nghiệm của bất phương trình (*) là \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai ở bước 1.
B. Sai ở bước 2.
C. Sai ở bước 3.
D. Lời giải đúng.
Sai từ bước 1
Bước 1:[/B] \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} > 0\\ \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} > 0\,\,(1)\\ \frac{{x + 2}}{{1 + x}} > 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.\)
Bước 2:[/B] \((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > - \frac{1}{2}\, \end{array} \right.(3)\)
\((2) \Leftrightarrow x < - 2\,\) hoặc \(x > - 1\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(x < - 2\,\) hoặc \(x > -\frac{1}{2}\)
Bước 1:[/B] \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} > 0\\ \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 + 2x}}{{1 + x}} > 0\,\,(1)\\ \frac{{x + 2}}{{1 + x}} > 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.\)
Bước 2:[/B] \((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > - \frac{1}{2}\, \end{array} \right.(3)\)
\((2) \Leftrightarrow x < - 2\,\) hoặc \(x > - 1\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(x < - 2\,\) hoặc \(x > -\frac{1}{2}\)
Giải phương trình \({\log _4}\left( {x - 1} \right) = 3\).
A. x=63
B. x=65
C. x=82
D. x=80
Điều kiện x>1
\({\log _4}\left( {x - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x - 1 = {4^3} \Leftrightarrow x = 65\).
\({\log _4}\left( {x - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x - 1 = {4^3} \Leftrightarrow x = 65\).
Giải bất phương trình \(lo{g_2}\left( {5x-3} \right) > 5\)
A. \(x > \frac{{13}}{5}\)
B. \(x>7\)
C. \(\frac{1}{7} < x < 7\)
D. \(x < 7\)
\({\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5 \Leftrightarrow 5x - 3 > {2^5} \Leftrightarrow 5x > 35 \Leftrightarrow x > 7\)
Giải phương trình \(lo{g_3}\left( {2x-1} \right) = 2\).
A. x=15
B. \(x=\frac{1}{5}\)
C. x=25
D. x=5
\({\log _3}(2x - 1) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow 2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\)