Câu 1:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(- 4 < - \log x < - 3.\)
A. S=(3;4)
B. \(S = \left( {0;1000} \right) \cup \left( {10000; + \infty } \right)\)
C. S=(1000;10000)
D. \(S = \emptyset\)
Câu 2:
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {x + {9^{500}}} \right) > 1000.\)
A. x>3
B. x>0
C. 0<x<3
D. \(- {9^{500}} < x < 0\)
Câu 3:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {4^{500}}} \right) > - 1000.\)
A. \(- {4^{500}} < x < 2\)
B. \(x>0\)
C. \(- {2^{1000}} < x < 2\)
D. \(0< x < 2\)
Câu 4
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)
A. \(x < \frac{1}{9}\)
B. \(x >3\)
C. \(\frac{1}{9}<x<3\)
D. \(\frac{1}{3}<x<3\)
Câu 5:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{{x^2} - 4}}\left( {x + 2} \right) \ge 0.\)
A. \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right)\)
B. \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { - 2;\sqrt 5 } \right)\)
Câu 6:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)\)
D. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3.\)
A. \([-3;3]\)
B. \([-2;2]\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Câu 8:
Phương trình \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x\) có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}.\)
A. P = 2
B. P = 3
C. P = 9
D. P = 1
Câu 9:
Giải phương trình \(\ln (2x + 1) = 1.\)
A. \(x = \frac{{e + 1}}{2}\)
B. \(x = \frac{{e - 1}}{2}\)
C. \(x = \frac{9}{2}\)
D. \(x = \frac{{11}}{2}\)
Câu 10:
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x.\)
A. S = 2
B. S = 5
C. S =13
D. S = 25
Câu 11:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2\)
A. \(x > 4\)
B. \(4 < x < \frac{{37}}{9}\)
C. \(x > \frac{{37}}{9}\)
D. \(4 < x < \frac{{14}}{3}\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(- 4 < - \log x < - 3.\)
A. S=(3;4)
B. \(S = \left( {0;1000} \right) \cup \left( {10000; + \infty } \right)\)
C. S=(1000;10000)
D. \(S = \emptyset\)
ĐK: x>0. Khi đó:
\(\begin{array}{l} - 4 < - \log x < - 3 \Leftrightarrow 4 > \log x > 3\\ \Leftrightarrow {10^4} > x > {10^3} \Leftrightarrow 10000 > x > 1000. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} - 4 < - \log x < - 3 \Leftrightarrow 4 > \log x > 3\\ \Leftrightarrow {10^4} > x > {10^3} \Leftrightarrow 10000 > x > 1000. \end{array}\)
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {x + {9^{500}}} \right) > 1000.\)
A. x>3
B. x>0
C. 0<x<3
D. \(- {9^{500}} < x < 0\)
Ta có: \({\log _3}(x + {9^{500}}) > 1000 \Leftrightarrow x + {9^{500}} > {3^{1000}}\) (1)
Mặt khác: \({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Nên \((1) \Leftrightarrow x > 0.\)
Mặt khác: \({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Nên \((1) \Leftrightarrow x > 0.\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {4^{500}}} \right) > - 1000.\)
A. \(- {4^{500}} < x < 2\)
B. \(x>0\)
C. \(- {2^{1000}} < x < 2\)
D. \(0< x < 2\)
Điều kiện: \(x > - {4^{500}}\) (*)
Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + {4^{500}}) > - 1000 \Leftrightarrow - {\log _2}(x + {4^{500}}) > - 1000\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}(x + {4^{500}}) < 1000 \Leftrightarrow x + {4^{500}} < {2^{1000}}\) (1)
Ta có \({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}\) nên \((1) \Leftrightarrow x < 0\)
Kết hợp với (*) ta được \(- {4^{500}} < x < 0\) thỏa mãn, từ đó C là đáp án đúng vì:
\({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}.\)
Khi đó: \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + {4^{500}}) > - 1000 \Leftrightarrow - {\log _2}(x + {4^{500}}) > - 1000\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}(x + {4^{500}}) < 1000 \Leftrightarrow x + {4^{500}} < {2^{1000}}\) (1)
Ta có \({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}\) nên \((1) \Leftrightarrow x < 0\)
Kết hợp với (*) ta được \(- {4^{500}} < x < 0\) thỏa mãn, từ đó C là đáp án đúng vì:
\({4^{500}} = {\left( {{2^2}} \right)^{500}} = {2^{2.500}} = {2^{1000}}.\)
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)
A. \(x < \frac{1}{9}\)
B. \(x >3\)
C. \(\frac{1}{9}<x<3\)
D. \(\frac{1}{3}<x<3\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0.\)
Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{{x^2} - 4}}\left( {x + 2} \right) \ge 0.\)
A. \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right)\)
B. \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( { - 2;\sqrt 5 } \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > - 2(*)\\ x \ne \sqrt 5 \end{array} \right..\) Xét hai trường hợp:
TH1. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - 4 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} > 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \sqrt 5 \,(1).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 1\)
Kết hớp (*) và (1) suy ra: \(x \in \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
TH2. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ 0 < {x^2} - 4 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;\sqrt 5 } \right)\,(2).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\)
Kết hợp (*) và (2) suy ra: \(x \in \emptyset .\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
TH1. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - 4 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} > 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \sqrt 5 \,(1).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x + 2 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge - 1\)
Kết hớp (*) và (1) suy ra: \(x \in \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
TH2. Với \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ 0 < {x^2} - 4 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ {x^2} < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {2;\sqrt 5 } \right)\,(2).\) Khi đó:
Bất phương trình: \({\log _{{x^2} - 4}}(x + 2) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\)
Kết hợp (*) và (2) suy ra: \(x \in \emptyset .\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)\)
D. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)
Điều kiện: \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 11x - 5 > 0.\)
Khi đó: \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x < 2\\ x > 3 \end{array} \right.\) (Thỏa mãn điều kiện).
Khi đó: \(\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < x < 2\\ x > 3 \end{array} \right.\) (Thỏa mãn điều kiện).
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3.\)
A. \([-3;3]\)
B. \([-2;2]\)
C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Chọn C
Điều kiện: x2 - 1 > 0
Khi đó: \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 \ge {2^3} \Leftrightarrow {x^2} \ge 9 \Leftrightarrow x \le - 3\) hoặc \(x \geq 3\) (Thỏa điều kiện).
Điều kiện: x2 - 1 > 0
Khi đó: \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 \ge {2^3} \Leftrightarrow {x^2} \ge 9 \Leftrightarrow x \le - 3\) hoặc \(x \geq 3\) (Thỏa điều kiện).
Phương trình \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x\) có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}.\)
A. P = 2
B. P = 3
C. P = 9
D. P = 1
ĐK: \(5 - {2^x} > 0 \Leftrightarrow {2^x} < 5 \Leftrightarrow x < {\log _2}5\)
Khi đó: \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Rightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow - {2^{2{\rm{x}}}} + {5.2^x} - 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 0\\ {x_2} = 2 \end{array} \right.\)
Vậy \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0 + 2 + 0.2 = 2.\)
Khi đó: \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Rightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}} \Leftrightarrow - {2^{2{\rm{x}}}} + {5.2^x} - 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 0\\ {x_2} = 2 \end{array} \right.\)
Vậy \({x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = 0 + 2 + 0.2 = 2.\)
Giải phương trình \(\ln (2x + 1) = 1.\)
A. \(x = \frac{{e + 1}}{2}\)
B. \(x = \frac{{e - 1}}{2}\)
C. \(x = \frac{9}{2}\)
D. \(x = \frac{{11}}{2}\)
Tập xác định: \(D = \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Khi đó: \(\ln (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow 2x + 1 = e \Leftrightarrow x = \frac{{e - 1}}{2} > - \frac{1}{2}\)
Khi đó: \(\ln (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow 2x + 1 = e \Leftrightarrow x = \frac{{e - 1}}{2} > - \frac{1}{2}\)
Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x.\)
A. S = 2
B. S = 5
C. S =13
D. S = 25
Điều kiện: \(x> 0\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x - 1 - {\log _3}x({\log _2}x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {1 - {{\log }_3}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _3}x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 > 0\\ x = 3 > 0 \end{array} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _3}x = 1 + {\log _2}x.{\log _3}x\\ \Leftrightarrow {\log _2}x - 1 - {\log _3}x({\log _2}x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {1 - {{\log }_3}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 1\\ {\log _3}x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 > 0\\ x = 3 > 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2\)
A. \(x > 4\)
B. \(4 < x < \frac{{37}}{9}\)
C. \(x > \frac{{37}}{9}\)
D. \(4 < x < \frac{{14}}{3}\)
\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 4} \right) > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 4 > 0\\ x - 4 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 4\\ x < \frac{{37}}{9} \end{array} \right.\)