Toán 12 10 Bài tập Cực Trị của Hàm Số trích trong đề thi thử toán tốt nghiệp THPT phần 16

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1
Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{5}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{21}}{2}{x^2} - 18x - 4\)có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
Ta có: \(y' = {x^4} + 5{x^3} + {x^2} - 21x - 18\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{x^2} - 2x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
tất cả bao nhiêu điểm cực trị.png

Vậy hàm số đạt cực trị tại \(x = - \frac{3}{2}\) và \(x = 2.\)
Câu 2
Cho đồ thị của ba hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\), \(y = f''(x)\) được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\) và \(y = f''(x)\) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?
Hỏi đồ thị các hàm số.png

A. \(({C_3});({C_2});({C_1})\).
B.\(({C_2});({C_1});({C_3})\).
C. \(({C_2});({C_3});({C_1})\).
D. \(({C_1});({C_3});({C_2})\).
Ta thấy tại điểm cực trị của \(\left( {{C_2}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right).\)
Tại điểm cực trị của \(\left( {{C_1}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right).\)
Câu 3
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(1\).
A. \(m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
B. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\).
C. \(m = 1\).
D. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).
Để hàm số có ba cực trị thì \(m > 0\,\,\,\,\left( * \right)\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \end{array} \right.\).
Ta có tọa độ các điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right) \in Oy,B\left( {\sqrt m ;1 - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ;1 - {m^2}} \right)\).
Cách 1[/B]
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A \in Oy\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC\) thuộc \(Oy\).
Gọi \(I\left( {0;t} \right)\) với \(t < 1\).
Theo giả thiết ta có \(IA = IB = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = 1\\IB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 - t} \right| = 1 - t = 1\,\,\left( {{\rm{do}}\,t < 1} \right)\\\sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2} - t} \right)}^2}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m\left( {{m^3} - 2m - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0;m = 1\\m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) .
Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Cách 2[/B] Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0;1 - {m^2}} \right)\).
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AH.BC\).
Mà \(R = 1;AB = AC \Rightarrow A{B^2} = 2AH\).
Từ đó suy ra \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Câu 4
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\)
A. 1
B. 2
C. -3
D. -6
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)
Mặt khác \(y = \frac{8}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\left( 1 \right) = 1 > 0}\\
{y\left( { - 3} \right) = - 1 < 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\)
Câu 5
Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\), tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
A. \(m > 0\)
B. \(m \ge \frac{1}{3}\)
C. \(m \le \frac{1}{3}.\)
D. \(m < 0.\)
\(y' = 3{x^2} + 2x + m\). Hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung khi \(y' = 0\) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều này xảy ra khi: \(ac < 0 \Leftrightarrow m < 0.\)
Câu 6
Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa \({x_0},f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và f có đạo hàm cấp hai tại \({x_0}.\) Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì f đạt cực đại tại \({x_0}.\)
B. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì f đạt cực tiểu tại \({x_0}.\)
C. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì f đạt cực trị tại \({x_0}.\)
D. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì f không đạt cực trị tại \({x_0}.\)
Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì hàm số f(x) vẫn có thể đạt cực trị tại \({x_0}.\)
Thật vậy: Xét hàm số \(y = {x^4}\) có \(y''\left( 0 \right) = 0\) tuy nhiên \(x = 0\) là điểm cực trị của hàm số.
Câu 7
Cho hàm số \(y = x\ln {\rm{x}}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e.\)
B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = e.\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{e}.\)
Hàm số có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow y' = \left( {x\ln {\rm{x}}} \right)' = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \ln {\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}.\)
Mặt khác \(y'' = \left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)' = \frac{1}{x} \Rightarrow y''\left( {\frac{1}{e}} \right) = e > 0 \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
Câu 8
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 3\) có điểm cực đại \({x_{CD}}\) và điểm cực tiểu \({x_{CT}}\) là:
A. \({x_{C\S}} = - 2,{x_{CD}} = 2,{x_{CT}} = 0.\)
B. \({x_{CT}} = - 1,{x_{CT}} = 1,{x_{CD}} = 0.\)
C. \({x_{CT}} = - 2,{x_{CT}} = 2,{x_{CD}} = 0.\)
D. \({x_{CD}} = - 1,{x_{CD}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Ta có: \(y' = - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}\,;\,{\rm{y'}} = 0 \Leftrightarrow - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
Mặt khác: \(y'' = - 12{{\rm{x}}^2} + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( 0 \right) = 4 > 0\\y''\left( 1 \right) = y''\left( { - 1} \right) = - 8 < 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_{C{\rm{D}}}} = - 1,{x_{C{\rm{D}}}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Câu 9
Cho hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x - \sqrt 3 x.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số có điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Dựa vào đáp án ta thấy:
Hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x - \sqrt 3 = - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 .\)
\( - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 \le \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.
Hàm số không có cực trị.
Câu 10:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
bảng biến thiên như hình vẽ bên.png

A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\)
D. Giá trị cực đại của hàm số là 5
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) (y’ đổi dấu từ âm sang dương).
 

Bài mới