Câu 1
Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{5}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{21}}{2}{x^2} - 18x - 4\)có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
Câu 2
Cho đồ thị của ba hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\), \(y = f''(x)\) được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\) và \(y = f''(x)\) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?
A. \(({C_3});({C_2});({C_1})\).
B.\(({C_2});({C_1});({C_3})\).
C. \(({C_2});({C_3});({C_1})\).
D. \(({C_1});({C_3});({C_2})\).
Câu 3
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(1\).
A. \(m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
B. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\).
C. \(m = 1\).
D. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Câu 4
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\)
A. 1
B. 2
C. -3
D. -6
Câu 5
Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\), tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
A. \(m > 0\)
B. \(m \ge \frac{1}{3}\)
C. \(m \le \frac{1}{3}.\)
D. \(m < 0.\)
Câu 6
Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa \({x_0},f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và f có đạo hàm cấp hai tại \({x_0}.\) Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì f đạt cực đại tại \({x_0}.\)
B. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì f đạt cực tiểu tại \({x_0}.\)
C. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì f đạt cực trị tại \({x_0}.\)
D. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì f không đạt cực trị tại \({x_0}.\)
Câu 7
Cho hàm số \(y = x\ln {\rm{x}}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e.\)
B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = e.\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{e}.\)
Câu 8
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 3\) có điểm cực đại \({x_{CD}}\) và điểm cực tiểu \({x_{CT}}\) là:
A. \({x_{C\S}} = - 2,{x_{CD}} = 2,{x_{CT}} = 0.\)
B. \({x_{CT}} = - 1,{x_{CT}} = 1,{x_{CD}} = 0.\)
C. \({x_{CT}} = - 2,{x_{CT}} = 2,{x_{CD}} = 0.\)
D. \({x_{CD}} = - 1,{x_{CD}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Câu 9
Cho hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x - \sqrt 3 x.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số có điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 10:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\)
D. Giá trị cực đại của hàm số là 5
Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{5}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{21}}{2}{x^2} - 18x - 4\)có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 2
C. 1
D. 3
Ta có: \(y' = {x^4} + 5{x^3} + {x^2} - 21x - 18\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{x^2} - 2x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Vậy hàm số đạt cực trị tại \(x = - \frac{3}{2}\) và \(x = 2.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{x^2} - 2x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Vậy hàm số đạt cực trị tại \(x = - \frac{3}{2}\) và \(x = 2.\)
Cho đồ thị của ba hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\), \(y = f''(x)\) được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số \(y = f(x)\), \(y = f'(x)\) và \(y = f''(x)\) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?
A. \(({C_3});({C_2});({C_1})\).
B.\(({C_2});({C_1});({C_3})\).
C. \(({C_2});({C_3});({C_1})\).
D. \(({C_1});({C_3});({C_2})\).
Ta thấy tại điểm cực trị của \(\left( {{C_2}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_2}} \right).\)
Tại điểm cực trị của \(\left( {{C_1}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right).\)
Tại điểm cực trị của \(\left( {{C_1}} \right)\) thì hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) bằng 0 và đổi dấu. Suy ra: hàm số có đồ thị \(\left( {{C_3}} \right)\) là đạo hàm của hàm số có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(1\).
A. \(m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
B. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\).
C. \(m = 1\).
D. \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).
Để hàm số có ba cực trị thì \(m > 0\,\,\,\,\left( * \right)\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \end{array} \right.\).
Ta có tọa độ các điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right) \in Oy,B\left( {\sqrt m ;1 - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ;1 - {m^2}} \right)\).
Cách 1[/B]
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A \in Oy\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC\) thuộc \(Oy\).
Gọi \(I\left( {0;t} \right)\) với \(t < 1\).
Theo giả thiết ta có \(IA = IB = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = 1\\IB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 - t} \right| = 1 - t = 1\,\,\left( {{\rm{do}}\,t < 1} \right)\\\sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2} - t} \right)}^2}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m\left( {{m^3} - 2m - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0;m = 1\\m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) .
Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Cách 2[/B] Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0;1 - {m^2}} \right)\).
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AH.BC\).
Mà \(R = 1;AB = AC \Rightarrow A{B^2} = 2AH\).
Từ đó suy ra \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Để hàm số có ba cực trị thì \(m > 0\,\,\,\,\left( * \right)\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \end{array} \right.\).
Ta có tọa độ các điểm cực trị \(A\left( {0;1} \right) \in Oy,B\left( {\sqrt m ;1 - {m^2}} \right),C\left( { - \sqrt m ;1 - {m^2}} \right)\).
Cách 1[/B]
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A \in Oy\) nên tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC\) thuộc \(Oy\).
Gọi \(I\left( {0;t} \right)\) với \(t < 1\).
Theo giả thiết ta có \(IA = IB = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = 1\\IB = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {1 - t} \right| = 1 - t = 1\,\,\left( {{\rm{do}}\,t < 1} \right)\\\sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{\left( {1 - {m^2} - t} \right)}^2}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m\left( {{m^3} - 2m - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0;m = 1\\m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) .
Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\) ta được \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Cách 2[/B] Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0;1 - {m^2}} \right)\).
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AH.BC\).
Mà \(R = 1;AB = AC \Rightarrow A{B^2} = 2AH\).
Từ đó suy ra \(m = 1;m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\)
A. 1
B. 2
C. -3
D. -6
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)
Mặt khác \(y = \frac{8}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\left( 1 \right) = 1 > 0}\\
{y\left( { - 3} \right) = - 1 < 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)
Mặt khác \(y = \frac{8}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\left( 1 \right) = 1 > 0}\\
{y\left( { - 3} \right) = - 1 < 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\)
Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx + 1\), tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
A. \(m > 0\)
B. \(m \ge \frac{1}{3}\)
C. \(m \le \frac{1}{3}.\)
D. \(m < 0.\)
\(y' = 3{x^2} + 2x + m\). Hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung khi \(y' = 0\) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều này xảy ra khi: \(ac < 0 \Leftrightarrow m < 0.\)
Điều này xảy ra khi: \(ac < 0 \Leftrightarrow m < 0.\)
Cho hàm số \(f\) có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa \({x_0},f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và f có đạo hàm cấp hai tại \({x_0}.\) Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì f đạt cực đại tại \({x_0}.\)
B. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì f đạt cực tiểu tại \({x_0}.\)
C. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì f đạt cực trị tại \({x_0}.\)
D. Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì f không đạt cực trị tại \({x_0}.\)
Nếu \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì hàm số f(x) vẫn có thể đạt cực trị tại \({x_0}.\)
Thật vậy: Xét hàm số \(y = {x^4}\) có \(y''\left( 0 \right) = 0\) tuy nhiên \(x = 0\) là điểm cực trị của hàm số.
Thật vậy: Xét hàm số \(y = {x^4}\) có \(y''\left( 0 \right) = 0\) tuy nhiên \(x = 0\) là điểm cực trị của hàm số.
Cho hàm số \(y = x\ln {\rm{x}}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e.\)
B. Hàm số đạt cực đại tại \(x = e.\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{e}.\)
Hàm số có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow y' = \left( {x\ln {\rm{x}}} \right)' = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \ln {\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}.\)
Mặt khác \(y'' = \left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)' = \frac{1}{x} \Rightarrow y''\left( {\frac{1}{e}} \right) = e > 0 \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
\( \Rightarrow y' = \left( {x\ln {\rm{x}}} \right)' = \ln {\rm{x}} + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \ln {\rm{x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}.\)
Mặt khác \(y'' = \left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)' = \frac{1}{x} \Rightarrow y''\left( {\frac{1}{e}} \right) = e > 0 \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{e}.\)
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 3\) có điểm cực đại \({x_{CD}}\) và điểm cực tiểu \({x_{CT}}\) là:
A. \({x_{C\S}} = - 2,{x_{CD}} = 2,{x_{CT}} = 0.\)
B. \({x_{CT}} = - 1,{x_{CT}} = 1,{x_{CD}} = 0.\)
C. \({x_{CT}} = - 2,{x_{CT}} = 2,{x_{CD}} = 0.\)
D. \({x_{CD}} = - 1,{x_{CD}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Ta có: \(y' = - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}\,;\,{\rm{y'}} = 0 \Leftrightarrow - 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
Mặt khác: \(y'' = - 12{{\rm{x}}^2} + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( 0 \right) = 4 > 0\\y''\left( 1 \right) = y''\left( { - 1} \right) = - 8 < 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_{C{\rm{D}}}} = - 1,{x_{C{\rm{D}}}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Mặt khác: \(y'' = - 12{{\rm{x}}^2} + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( 0 \right) = 4 > 0\\y''\left( 1 \right) = y''\left( { - 1} \right) = - 8 < 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_{C{\rm{D}}}} = - 1,{x_{C{\rm{D}}}} = 1,{x_{CT}} = 0.\)
Cho hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x - \sqrt 3 x.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số có điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Dựa vào đáp án ta thấy:
Hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x - \sqrt 3 = - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 .\)
\( - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 \le \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.
Hàm số không có cực trị.
Hàm số xác định trên \(D = \mathbb{R} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x - \sqrt 3 = - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 .\)
\( - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 \le \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.
Hàm số không có cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\), có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\)
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\)
D. Giá trị cực đại của hàm số là 5
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) (y’ đổi dấu từ âm sang dương).