Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo.
A. Trục tung, bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
B. Trục hoành, bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
C. Đường thẳng \(y = 1\), bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
D. Đường thẳng \(x = - 1\), bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)

Vì bài toán liên quan đến biểu diễn số phức nên ta sẽ đặt \(z = x + iy\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Khi đó \(\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + i\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{x - i\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
Khi đó để \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\end{array} \right.\)
Vậy A là phương án đúng.