Viết phương trình đường thẳng \(\Delta .\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình đường Thẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2{\rm{z}} - 5 = 0\) và hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right),B\left( {1; - 1;3} \right).\) Trong tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P), gọi \(\Delta \) là đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến \(\Delta \) là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta .\)
A. \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{y}{{ - 6}} = \frac{z}{{ - 7}}.\)
B. \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 12}}{6} = \frac{{z + 13}}{7}.\)
C. \(\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 6}} = \frac{{z - 1}}{7}.\)
D. \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{6} = \frac{{z - 3}}{7}.\)

Vì \(\left( { - 3 - 2.0 + 2.1 - 5} \right)\left( {1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2.3 - 5} \right) < 0\) nên hai điểm A, B khác phía so với (P).
Gọi H là hình chiếu của B lên \(\Delta .\)
Ta có: \(BH \le BA\)nên khoảng cách BH từ B đến \(\Delta \) lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.
Khi đó \(AB \bot \Delta .\)
VTPT của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 1;2} \right)\)
VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 2;6;7} \right).\)
Mà \(\Delta \) qua \(A\left( { - 3;0;1} \right)\) nên chọn B.