Toán 12 Phương trình đường thẳng trong không gian

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường thẳng:

• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {a\,} = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) với \({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \ne 0\) làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_2}t\end{array} \right.;{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
• Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {a\,} = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) sao cho \({a_1}{a_2}{a_3} \ne 0\) làm vectơ chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình chính tắc là :
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
II. Góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng:

\({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} \)
\({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} \)
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Ta có: ${\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}}$
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \)
\(\left( \alpha \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \)
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và \((\alpha )\). Ta có: ${\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}}$

III. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng ∆ :

∆ đi qua điểm \({M_0}\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \)
${d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|}}}$
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
\({\Delta _1}\) đi qua điểm \(M\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} \)
\({\Delta _2}\) đi qua điểm \(N\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} \)
${d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right){\rm{ = }}\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]} \right|}}}$

IV. Các dạng toán thường gặp:
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt \(A,B\).

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {AB\,} \).
2. Đường thẳng ∆ đi qua điểm \(M\) và song song với d.
Cách giải:
Trong trường hợp đặc biệt:
• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Ox thì ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\)
• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oy thì ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\)
• Nếu ∆ song song hoặc trùng bới trục Oz thì ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow k = \left( {0;1;0} \right)\)
Các trường hợp khác thì ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{a_d}} \), với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d
3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(M\)và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \), với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(M\)và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) (hai đường thẳng không cùng phương).
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của \({d_1},{d_2}\).
5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(M\)vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d, \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\); (\(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) là hai mặt phẳng cắt nhau)
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]\), với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\).
7. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Cách giải:
• Lấy một điểm bất kì trên ∆ , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.
• Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]\), với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\).
8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\left( {A \notin {d_1},A \notin {d_2}} \right)\).
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\), với \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(mp\left( {A,{d_1}} \right),mp\left( {A,{d_2}} \right)\).
9. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và cắt hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {AB} \), với \(A = {d_1} \cap \left( \alpha \right),B = {d_2} \cap \left( \alpha \right)\)
10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d.
Cách giải:
• Xác định \(B = \Delta \cap d\).
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua \(A,B\).
11. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với \({d_1}\) và cắt \({d_2}\), với $A \notin {d_2}$.
Cách giải:
• Xác định \(B = \Delta \cap {d_2}\).
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua \(A,B\).
12. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Cách giải:
• Xác định \(B = \Delta \cap d\).
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua \(A,B\).
13. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt và vuông góc đường thẳng d.
Cách giải:
• Xác định \(A = d \cap \left( \alpha \right)\).
• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d, \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
14. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng dvà mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), nằm trong \(\left( \alpha \right)\) và vuông góc đường thẳng d(ở đây dkhông vuông góc với \(\left( \alpha \right)\)) .
Cách giải:
• Xác định \(A = d \cap \left( \alpha \right)\).
• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d, \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
15. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \({d_1},{d_2}\).
Cách giải:
• Xác định \(A = \Delta \cap {d_1},B = \Delta \cap {d_2}\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot {d_1}\\AB \bot {d_2}\end{array} \right.\)
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm \(A,B\).
16. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Cách giải:
• Xác định \(A = \Delta \cap {d_1},B = \Delta \cap {d_2}\) sao cho \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{a_d}} \) cùng phương, với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d.
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {{a_\Delta }} \).
17. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Cách giải:
• Xác định \(A = \Delta \cap {d_1},B = \Delta \cap {d_2}\) sao cho \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} \) cùng phương, với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm Avà có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {{n_\alpha }} \).
18. Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Cách giải : Xác định \(H \in \Delta \) sao cho \(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {{a_d}} \),với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d.
• Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa d và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\)
19. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\left( P \right):2x - 3y + 5z - 4 = 0\).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\).
• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Học sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.
2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại.
3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số.
4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu
1. Trong không gian với hệ tọa độ $2\sqrt 3 $cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.\). Phương trình chính tắc của đường thẳng dlà?
A. \(x - 2 = y = z + 1.\)
B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}.\)
C. \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}.\)
D. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{5}.\)
Cách 1:
∆ đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1; - 3;5} \right)\)
Vậy phương trình chính tắc của Oxyz là ∆
Cách 2:
\(A\left( { - 2;2;1} \right)\)
Vậy phương trình chính tắc của B là \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\)
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\)cho ba đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 4 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{{ - 3}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\). Gọi ∆ là đường thẳng cắt \({d_1},{d_2},{d_3}\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB = BC\). Phương trình đường thẳng ∆ là
A. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}.\)
B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}.\)
C. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\)
D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}.\)
Gọi \(A \in {d_1},B \in {d_2},C \in {d_3}\)
Ta có: \(A\left( {a;4 - a; - 1 + 2a} \right),B\left( {b;2 - 3b; - 3b} \right),C\left( { - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c} \right)\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow A,B,C\) thẳng hàng và \(AB = BC\)
\( \Leftrightarrow B\) là trung điểm \(AC\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 + 5c = 2b\\4 - a + 1 + 2c = 2\left( {2 - 3b} \right)\\ - 1 + 2a - a + c = 2\left( { - 3b} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 0\end{array} \right.\)
Suy ra \(A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;2;0,} \right),C\left( { - 1;1; - 1} \right)\)
∆ đi qua điểm $B\left( {0;2;0,} \right)$ và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;1} \right)\)
Vậy phương trình đường thẳng $\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 5}}{5}$ là $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm \(M\left( { - 2;3;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right)\)?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = 2 - t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 2 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right..\)
Phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm \(M\left( { - 2;3;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right)\), song song với \(\left( P \right):2x - y - z + 3 = 0\), đồng thời tạo với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là.
A. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{7}.\)
B. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z + 2}}{7}.\)
C. \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{7}.\)
D. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 7}}.\)
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left( {1; - 2;2} \right)\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {a;b;c} \right)\)
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)
Vì \(d//\left( P \right)\) nên $\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 2a - b - c = 0 \Leftrightarrow c = 2a - b$
\(\cos \left( {\Delta ,d} \right) = \frac{{\left| {5a - 4b} \right|}}{{3\sqrt {5{a^2} - 4ab + 2{b^2}} }} = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{{{\left( {5a - 4b} \right)}^2}}}{{5{a^2} - 4ab + 2{b^2}}}} \)
Đặt \(t = \frac{a}{b}\), ta có: \(\cos \left( {\Delta ,d} \right) = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{{{\left( {5t - 4} \right)}^2}}}{{5{t^2} - 4t + 2}}} \)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{{\left( {5t - 4} \right)}^2}}}{{5{t^2} - 4t + 2}}\), ta suy ra được: \(\max f\left( t \right) = f\left( { - \frac{1}{5}} \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)
Do đó: \(\max \left[ {\cos \left( {\Delta ,d} \right)} \right] = \sqrt {\frac{{5\sqrt 3 }}{{27}}} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{a}{b} = - \frac{1}{5}\)
Chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 5,c = 7\)
Vậy phương trình đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{7}\)
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ \(MN \Rightarrow N\left( { - t; - 5 - 2t;1 + t} \right)\) gọi d đi qua \(A\left( { - 1;0; - 1} \right)\), cắt \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\), sao cho góc giữa d và \({\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}\) là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
A. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
B. \(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.\)
C. \(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\)
Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right)\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {AM} = \left( {2t + 2;t + 2; - 1 - t} \right)\)
\({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( { - 1;2;2} \right)\)
\(\cos \left( {d;{\Delta _2}} \right) = \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}} \)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}\), ta suy ra được \(\min f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0\)
Do đó \(\min \left[ {\cos \left( {\Delta ,d} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2;2 - 1} \right)\)
Vậy phương trình đường thẳng d là \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
Câu 6. (ĐH D2007). Trong không gian với hệ tọa độ \(\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\) cho hai điểm \(A\left( {1;4;2} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;4} \right)\). Phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = 2 + 61t\end{array} \right.\) đi qua trọng tâm của \(\Delta OAB\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) là
A. $\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}.$
B. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}.$
C. $\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.$
D. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.$
Gọi \(\left( P \right)\)là trọng tâm \(\Delta OAB\), ta có $G(0;2;2)$
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {1;4;2} \right)\\\overrightarrow {OB} = \left( { - 1;2;4} \right)\end{array}\)
Gọi \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương của d
\(d \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \bot OA\\d \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {OA} \\\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {12; - 6;6} \right) = 6\left( {2; - 1;1} \right)\)
Vậy phương trình của d là $\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}$
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ cho tam giác $\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y + 2}}{{11}} = \frac{{z - 1}}{{ - 10}}$ có Oxyz,. Đường thẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0$ đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng $A\left( { - 3;0;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1; - 1;3} \right).$. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 1 - 3t\\z = - 2 + 2t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 1 + 3t\\z = - 2 - 2t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 6t\\y = - 1 - 18t\\z = - 2 + 12t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 1 - 3t\\z = - 2 - 2t\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2; - 4} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 4; - 5} \right)\end{array}\)
Đường thẳng d đi qua điểm ∆ và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6; - 18;12} \right) = - 6(1;3; - 2)\)
Đáp án sai là câu A
Câu 8. (ĐH B2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 1;2;3} \right)\) và đường thẳng $\Delta \,:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}$. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng $AB$ và $\Delta $ là
A. \(\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{1}.\)
B. \(\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}.\)
C. \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{4}.\)
Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} \)
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;2} \right)\)
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left( { - 2;1;3} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot AB\\d \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{a_\Delta }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right] = \left( {7;2;4} \right)\)
Vậy phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\)
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - 2t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 8 + 2t\\y = 1 + 3t\\z = - 7 - t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 8t\\y = 3 + 3t\\z = - 1 - 7t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 8t\\y = - 3 + t\\z = 1 - 7t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 8t\\y = - 3 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right..\)
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {2;3; - 1} \right)\)
\({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\)
Gọi \(\overrightarrow {{a_\Delta }} \) là vectơ chỉ phương ∆
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot {d_1}\\\Delta \bot {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{a_1}} \\\overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{a_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} } \right] = \left( { - 8;3; - 7} \right)\)
Vậy phương trình tham số của ∆ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 8t\\y = 3 + 3t\\z = - 1 - 7t\end{array} \right.\)
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 1 = 0\) và đường thẳng $\Delta \,:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{3}$. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(B\left( {2; - 1;5} \right)\) song song với \(\left( P \right)\) và vuông góc với $\Delta $ là
A. \(\frac{{x - 2}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 5}}{4}.\)
B. \(\frac{{x + 2}}{{ - 5}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 5}}{4}.\)
C. \(\frac{{x + 2}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 5}}{{ - 4}}.\)
D. \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{5}.\)
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left( {2; - 1;3} \right)\)
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;2} \right)\)
Gọi \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vectơ chỉ phương d
\(\left\{ \begin{array}{l}d//\left( P \right)\\d \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \\\overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{a_\Delta }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{a_\Delta }} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 5;2;4} \right)\)
Vậy phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 2}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 5}}{4}\)
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $x - 1 = y - 2 = z - 2$ cho mặt phẳng Oxyz,. Phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{1},\) đi qua điểm \(\left( P \right):2x - y - z + 5 = 0\), song song với hai mặt phẳng \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) là.
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 3\\z = - 1 + t\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 + 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 - 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 2 - 3\\z = 1 - t\end{array} \right.t.$
∆ có vectơ pháp tuyến $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$
\(\left( {Oyz} \right)\)có vectơ pháp tuyến $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$
d đi qua điểm $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}$ và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;2;1} \right)\)
Vậy phương của $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 + 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.$
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 3y + z = 0\) và \(\left( \beta \right):x + y - z + 4 = 0 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng d là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = t\\z = 2 + 2t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = t\\z = - 2 + 2t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - t\\z = - 2 - 2t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = 2 + 2t\end{array} \right..\)
Cách 1:
Đặt \(y = t\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 3t\\x - z = - 4 - t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)
Vậy phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)
Cách 2:
Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho \(y = 0\)
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 0\\x - z = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2;0;2} \right) \in d\)
\(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 3;1} \right)\)
\(\left( \beta \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;1; - 1} \right)\)
Oxyz, có vectơ chỉ phương \(d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1},\)
\(\left( P \right)\,:3x + 5y - z - 2 = 0\) đi qua điểm $d'$ và có vectơ chỉ phương là d
Vậy phương trình tham số của $\left( P \right).$ là $d'$
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ \(\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\) cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y - z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(M(1; - 1;0)\) và song song với đường thẳng ∆ là
A. $\frac{{x - 1}}{8} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{6}.$
B. $\frac{{x + 1}}{8} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{6}.$
C. $\frac{{x - 1}}{8} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{6}.$
D. $\frac{{x - 8}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{6}.$
\(\left( \alpha \right)\)có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)
\((\beta )\)có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;2; - 3} \right)\)
d đi qua điểm $M(1; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {8;1;6} \right)\)
Vậy phương trình của d là $\frac{{x - 1}}{8} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{6}$
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - z = 2\\8x - 11z = 22\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right) \in d'\) cho đường thẳng d’. Phương trình đường thẳng \(M\left( {0;0; - 2} \right)\) đi qua điểm \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {62; - 25;61} \right)\)vuông góc với trục d’và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = - 2 + 61t\end{array} \right.\) là
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + 2t\\y = - 3\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = 1 + 2t\\y = 3\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 - 2t\\y = 3\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + 2t\\y = - 3\end{array} \right..$
∆ có vectơ chỉ phương d
\(\left( P \right)\) có vectơ chỉ phương \(M\)
\(N\) đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là \(MN\)
Vậy phương của ∆ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + 2t\\y = - 3\end{array} \right.$
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1},\) và mặt thẳng \(\left( P \right)\,:3x + 5y - z - 2 = 0\). Gọi $d'$là hình chiếu của d lên $\left( P \right).$Phương trình tham số của $d'$ là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 62t\\y = 25t\\z = 2 - 61t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = 2 + 61t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = - 2 + 61t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = 2 + 61t\end{array} \right..\)
Cách 1:
Gọi \(A = d \cap \left( P \right)\)
$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow A\left( {12 + 4a;9 + 3a;1 + a} \right)\\A \in \left( P \right) \Rightarrow a = - 3 \Rightarrow A\left( {0;0; - 2} \right)\end{array}$
d đi qua điểm \(B\left( {12;9;1} \right)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(\left( P \right)\)
\(\left( P \right)\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;5; - 1} \right)\)
\(BH\) đi qua \(B\left( {12;9;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{BH}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;5; - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}BH:\left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 3t\\y = 9 + 5t\\z = 1 - t\end{array} \right.\\H \in BH \Rightarrow H\left( {12 + 3t;9 + 5t;1 - t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow t = - \frac{{78}}{{35}} \Rightarrow H\left( {\frac{{186}}{{35}}; - \frac{{15}}{7};\frac{{113}}{{35}}} \right)\\\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{186}}{{35}}; - \frac{{15}}{7};\frac{{183}}{{35}}} \right)\end{array}\)
d’ đi qua \(A\left( {0;0; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{d'}}} = \left( {62; - 25;61} \right)\)
Vậy phương trình tham số của d’ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = - 2 + 61t\end{array} \right.\)
Cách 2:
• Gọi \(\left( Q \right)\) qua d và vuông góc với \(\left( P \right)\)
d đi qua điểm \(B\left( {12;9;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {4;3;1} \right)\)
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;5; - 1} \right)\)
\(\left( Q \right)\) qua \(B\left( {12;9;1} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 8;7;11} \right)\)
\(\left( Q \right):8x - 7y - 11z - 22 = 0\)
• d’ là giao tuyến của $\left( Q \right)$ và $\left( P \right)$
Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho \(y = 0\)
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - z = 2\\8x - 11z = 22\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right) \in d'\)
d’ đi qua điểm \(M\left( {0;0; - 2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {62; - 25;61} \right)\)
Vậy phương trình tham số của d’ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = - 2 + 61t\end{array} \right.\)
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = - 2 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 2 = 0\) và cắt hai đường thẳng ${d_1},{\rm{ }}{d_2}$ là:
A. \(\frac{{x + 3}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}.\)
B. \(\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\)
C. \(\frac{{x - 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
D. \(\frac{{x + 8}}{1} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{z}{{ - 4}}.\)
Gọi d là đường thẳng cần tìm
• Gọi \(A = {d_1} \cap \left( \alpha \right)\)
$\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {2 - a;1 + 3a;1 + 2a} \right)\\A \in \left( \alpha \right) \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow A\left( {3; - 2; - 1} \right)\end{array}$
• Gọi \(B = {d_2} \cap \left( \alpha \right)\)
\(\begin{array}{l}B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {1 - 3b; - 2 + b; - 1 - b} \right)\\B \in \left( \alpha \right) \Rightarrow b = 1 \Rightarrow B\left( { - 2; - 1; - 2} \right)\end{array}\)
• d đi qua điểm $A\left( {3; - 2; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;1; - 1} \right)$
Vậy phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
Câu 17. (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0$. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = - 2 + 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 - 3t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 1 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right..\)
Gọi \(M = \Delta \cap \left( P \right)\)
$M \in \Delta \Rightarrow M\left( { - 2 + t;2 + t; - t} \right)$
$M \in \left( P \right) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M\left( { - 3;1;1} \right)$
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 3} \right)\)
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left( {1;1; - 1} \right)\)
Có $\left. \begin{array}{l}d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \\d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{a_\Delta }} \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)$
d đi qua điểm $M\left( { - 3;1;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_d}} \)
Vậy phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 1 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right..\)
Câu 18. (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\). Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) vuông góc với \({d_1}\) và cắt ${d_2}$ là:
A. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}.\)
B. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{{ - 5}}.\)
C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 3}}{5}.\)
D. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 5}}{{ - 3}}.\)
Gọi \(B = \Delta \cap {d_2}\)
$\begin{array}{l}B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - t;2t - 1;t - 4} \right)\end{array}$
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {2; - 1;1} \right)\)
\(\begin{array}{l}\Delta \bot {d_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{a_1}} \\{\rm{ }} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_1}} = 0\\{\rm{ }} \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\)
∆ đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 5} \right)\)
Vậy phương trình của ∆ là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}.\)
Câu 19. (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\) . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $A\left( { - 4; - 2;4} \right)$, cắt và vuông góc với d là:
A. \(\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)
B. \(\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{{ - 1}}\)
C. \(\frac{{x - 4}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{1}\)
D. \(\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi \(B = \Delta \cap d\)
$\begin{array}{l}B \in d \Rightarrow B\left( { - 3 + 2t;1 - t; - 1 + 4t} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( {1 + 2t;3 - t; - 5 + 4t} \right)\end{array}$
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; - 1;4} \right)\)
\(\begin{array}{l}\Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{a_d}} \\{\rm{ }} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}} = 0\\{\rm{ }} \Leftrightarrow t = 1\end{array}\)
∆ đi qua điểm $A\left( { - 4; - 2;4} \right)$ và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 1} \right)\)
Vậy phương trình của ∆ là \(\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)
Câu 20. (ĐH A2005). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0$. Gọi A là giao điểm của d và $\left( P \right)$. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong \(\left( P \right)\), đi qua điểm A và vuông góc với d là:
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1 + t\\z = - 4 + t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = 4 + t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = t\end{array} \right..\)
Gọi \(A = d \cap \left( P \right)\)
$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow A\left( {1 - t; - 3 + 2t;3 + t} \right)\\A \in \left( P \right) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {0; - 1;4} \right)\end{array}$
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( { - 1;2;1} \right)\)
Gọi vecto chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow {{a_\Delta }} $
Ta có :
$\left. \begin{array}{l}\Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} \\d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}} \bot \overrightarrow {{a_\Delta }} \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{a_d}} } \right] = \left( {5;0;5} \right)$
∆ đi qua điểm $A\left( {0; - 1;4} \right)$ và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left( {5;0;5} \right)\)
Vậy phương trình tham số của ∆ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = 4 + t\end{array} \right.\)
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{z}{2}\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z + 3 = 0$ là:
A. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.$
B. $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}.$
C. $\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}.$
D. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.$
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi \(B = \Delta \cap d\)
$\begin{array}{l}B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( {t + 2;3t + 1;2t + 1} \right)\end{array}$
\(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1 - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}\Delta //\left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \\{\rm{ }} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\\{\rm{ }} \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\)
∆ đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)
Vậy phương trình của ∆ là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\). Phương trình đường thẳng song song với $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1 + t\\z = 4 + t\end{array} \right.$ và cắt hai đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$ là:
A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\\z = 3 - t\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3 - t\\z = - 3 - t\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3 + t\\z = - 3 + t\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3 + t\\z = 3 + t\end{array} \right..$
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi \(A = \Delta \cap {\Delta _1},B = \Delta \cap {\Delta _2}\)
\(\begin{array}{l}A \in {\Delta _1} \Rightarrow A\left( { - 1 + 3a;2 + a;1 + 2a} \right)\\B \in {\Delta _2} \Rightarrow B\left( {1 + b;2b; - 1 + 3b} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - 3a + b + 2; - a + 2b - 2; - 2a + 3b - 2} \right)\end{array}\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {0;1;1} \right)\)
\(\Delta //d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{a_d}} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \) có một số k thỏa \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {{a_d}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + b + 2 = 0\\ - a + 2b - 2 = k\\ - 2a + 3b - 2 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + b = - 2\\ - a + 2b - k = 2\\ - 2a + 3b - k = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\k = - 1\end{array} \right.\)
Ta có \(A\left( {2;3;3} \right);B\left( {2;2;2} \right)\)
∆ đi qua điểm \(A\left( {2;3;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 1; - 1} \right)\)
Vậy phương trình của ∆ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\\z = 3 - t\end{array} \right.$
Câu 23. (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right):7x + y - 4z = 0\) và cắt hai đường thẳng ${d_1},{\rm{ }}{d_2}$ là:
A. \(\frac{{x - 7}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}.\)
B. \(\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}.\)
C. \(\frac{{x + 2}}{{ - 7}} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{4}.\)
D. \(\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{4}.\)
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi \(A = d \cap {d_1},B = d \cap {d_2}\)
\(\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {2a;1 - a; - 2 + a} \right)\\B \in {d_2} \Rightarrow B\left( { - 1 + 2b;1 + b;3} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5} \right)\end{array}\)
\(\left( P \right)\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {7;1; - 4} \right)\)
\(d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_p}} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \) có một số k thỏa \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {{n_p}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 2b - 1 = 7k\\a + b = k\\ - a + 5 = - 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 2b - 7k = 1\\a + b - k = 0\\ - a + 4k = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\k = - 1\end{array} \right.\)
d đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {7;1 - 4} \right)\)
Vậy phương trình của d là \(\frac{{x - 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 4}}\)
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y + z - 1 = 0$ bằng $2\sqrt 3 $.
A. \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 6}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\)
B. \(\frac{{x - 7}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}.\)
C. \(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{{ - 3}} = \frac{{z + 2}}{2}.\)
D. \(\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 6}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{5}\) và \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 6}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\)
\(\begin{array}{l}B \in d \Rightarrow B\left( {1 + t;2 + 2t; - t} \right)\\d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right) = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( {3;6; - 2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 1} \right)\\B\left( { - 3; - 6;4} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 9;5} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
∆ đi qua điểm \(B\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \)
Vậy phương trình của ∆ là \(\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 6}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{5}\) và \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 6}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\)
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(A\left( { - 2;2;1} \right)\) cắt trục tung tại B sao cho \(OB = 2OA. \)
A. \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 6}}{{ - 8}} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
B. \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 6}}{4} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
C. \(\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 6}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{3}.\)
D. \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 6}}{4} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 6}}{{ - 8}} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
\(\begin{array}{l}B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;b;0} \right)\\OB = 2OA \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 6\\b = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( {0;6;0} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 1} \right)\\B\left( {0; - 6;0} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 8; - 1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
∆ đi qua điểm \(B\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \)
Vậy phương trình của ∆ là \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 6}}{4} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 6}}{{ - 8}} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm \(B\left( {1;1;2} \right)\) cắt đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}$ tại \(C\) sao cho tam giác \(OBC\)có diện tích bằng \(\frac{{\sqrt {83} }}{2}\).
A. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\)
B. \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 6}}{4} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
C. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{31}} = \frac{{y - 1}}{{78}} = \frac{{z - 2}}{{ - 109}}.\)
D. \(\frac{{x - 1}}{{31}} = \frac{{y - 1}}{{78}} = \frac{{z - 2}}{{ - 109}}.\)
\(\begin{array}{l}C \in d \Rightarrow C\left( {2 + t;3 - 2t; - 1 + t} \right)\\\overrightarrow {OC} = \left( {2 + t;3 - 2t; - 1 + t} \right)\\\overrightarrow {OB} = \left( {1;1;2} \right)\\\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {5t - 7;t + 5;1 - 3t} \right)\\{S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {3; - 2; - 1} \right)\\t = \frac{{ - 4}}{{35}} \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{31}}{{35}};\frac{{78}}{{35}}; - \frac{{109}}{{35}}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
∆ đi qua điểm \(B\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \)
Vậy phương trình của ∆ là \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{31}} = \frac{{y - 1}}{{78}} = \frac{{z - 2}}{{ - 109}}.\)
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3\\z = - 2 + t\end{array} \right.\). Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${d_1},{\rm{ }}{d_2}$ là.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right..\)
B. $\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = 3 - 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right..$
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 2t\\z = 2 - 5t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1 - t\end{array} \right..\)
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi \(A = d \cap {d_1},B = d \cap {d_2}\)
\(\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {2 + a;1 - a;2 - a} \right)\\B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {b;3; - 2 + b} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - a + b - 2;a + 2;a + b - 4} \right)\end{array}\)
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\)
\({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {1;0;1} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot {d_1}\\d \bot {d_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{a_1}} \\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{a_2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;1;2} \right);B\left( {3;3;1} \right)\)
d đi qua điểm \(A\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right)\)
Vậy phương trình của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right..\)
Câu 28. (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1},\) mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 5 = 0\) và \(A\left( {1; - 1;2} \right)\). Đường thẳng ∆ cắt d và \(\left( P \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\). Phương trình đường thẳng ∆ là.
A. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}.$
B. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{2}.$
C. $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{z + 2}}{2}.$
D. $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2}.$
\(M \in d \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;t;t + 2} \right)\)
A là trung điểm \(MN \Rightarrow N\left( {3 - 2t; - 2 - t;2 - t} \right)\)
\(N \in \left( P \right) \Rightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {3;2;4} \right)\)
∆ đi qua điểm \(M\left( {3;2;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {AM} = \left( {2;3;2} \right)\)
Vậy phương trình của ∆ là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}$
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}},\) mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\) và \(A\left( {1; - 2;1} \right)\). Đường thẳng ∆ cắt d và \(\left( S \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\). Phương trình đường thẳng ∆ là
A. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và $\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y - 2}}{{11}} = \frac{{z + 1}}{{ - 10}}.$
B. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và $\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y + 2}}{{11}} = \frac{{z - 1}}{{ - 10}}.$
C. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và $\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y + 2}}{{11}} = \frac{{z - 1}}{{ - 10}}.$
D. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và $\frac{{x + 1}}{7} = \frac{{y - 2}}{{11}} = \frac{{z + 1}}{{ - 10}}.$
\(M \in d \Rightarrow M\left( {2 + t;1 + 2t;1 - t} \right)\)
A là trung điểm \(MN \Rightarrow N\left( { - t; - 5 - 2t;1 + t} \right)\)
\(N \in \left( S \right) \Rightarrow 6{t^2} + 14t - 20 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 10;2} \right) = - 2\left( {2;5; - 1} \right)\\t = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{14}}{3};\frac{{22}}{3}; - \frac{{20}}{3}} \right) = \frac{2}{3}\left( {7;11; - 10} \right)\end{array} \right.\)
∆ đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {MN} \)
Vậy phương trình của ∆ là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và $\frac{{x - 1}}{7} = \frac{{y + 2}}{{11}} = \frac{{z - 1}}{{ - 10}}$
Câu 30. (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0$ và hai điểm $A\left( { - 3;0;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1; - 1;3} \right).$ Trong các đường thẳng đi qua A và song song với $\left( P \right)$, đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.
A. $\frac{{x + 3}}{{26}} = \frac{y}{{11}} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}.$
B. $\frac{{x - 2}}{{26}} = \frac{{y + 1}}{{11}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.$
C. $\frac{{x - 3}}{{26}} = \frac{y}{{11}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.$
D. $\frac{{x + 2}}{{26}} = \frac{{y - 1}}{{11}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}.$
Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm
Gọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A\left( { - 3;0;1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\). Khi đó: \(\left( Q \right):x - 2y + 2z + 1 = 0\)
Gọi \(K,H\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) lên \(\Delta ,\left( Q \right)\). Ta có \(d\left( {B,\Delta } \right) = BK \ge BH\). Do đó \(AH\) là đường thẳng cần tìm.
\(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;2} \right)\)
\(BH\) qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_{BH}}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;2} \right)\)
\(\begin{array}{l}BH:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\\H \in BH \Rightarrow H\left( {1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow t = - \frac{{10}}{9} \Rightarrow H\left( { - \frac{1}{9};\frac{{11}}{9};\frac{7}{9}} \right)\end{array}\)
∆ đi qua điểm $A\left( { - 3;0;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{26}}{9};\frac{{11}}{9}; - \frac{2}{9}} \right) = \frac{1}{9}\left( {26;11; - 2} \right)\)
Vậy phương trình của ∆ là $\Delta :\frac{{x + 3}}{{26}} = \frac{y}{{11}} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = - 2 + 61t\end{array} \right.\) cho đường thẳng $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$, mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 2 = 0\) . Gọi \(M\) là giao điểm của d và $\left( P \right)$. Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong $\left( P \right)$ vuông góc với d và cách \(M\) một khoảng bằng \(\sqrt {42} \). Phương trình đường thẳng \(\left( P \right)\) là.
A. $\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 5}}{1}$ và $\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{1}.$
B. $\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 5}}{1}.$
C. $\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{1}.$
D. $\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{z - 5}}{1}$ và $\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{z - 5}}{1}.$
Gọi \(M = d \cap \left( P \right)\)
\(\begin{array}{l}M \in d \Rightarrow M\left( {3 + 2t; - 2 + t; - 1 - t} \right)\\M \in \left( P \right) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M\left( {1; - 3;0} \right)\end{array}\)
\(\left( P \right)\) có vecttơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\)
d có vecttơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; - 1} \right)\)
∆ có vecttơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\)
Gọi \(N\left( {x;y;z} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên ∆ , khi đó \(\overrightarrow {MN} = \left( {x - 1;y + 3;z} \right)\).
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow {{a_\Delta }} \\N \in \left( P \right)\\MN = \sqrt {42} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z - 11 = 0\\x + y + z + 2 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 42\end{array} \right.$
Giải hệ ta tìm được hai điểm \(N\left( {5; - 2; - 5} \right)\) và \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\)
Với \(N\left( {5; - 2; - 5} \right)\), ta có $\Delta :\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 5}}{1}$
Với \(N\left( { - 3; - 4;5} \right)\), ta có $\Delta :\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{1}$
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ $\left( P \right)$ cho điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\), hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 4\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(I\) và cắt hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là.
A. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right..\)
C. \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right..\)
• Gọi \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) là mặt phẳng qua \(I\) và \({\Delta _1}\)
\({\Delta _1}\) đi qua \({M_1}\left( {3; - 1;4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;2;0} \right)\)
\(\overrightarrow {I{M_1}} = \left( {2; - 2;2} \right)\)
\(\left( {{\alpha _1}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {I{M_1}} } \right] = \left( {4; - 2; - 6} \right)\)
• Gọi \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) là mặt phẳng qua \(I\) và \({\Delta _2}\)
\({\Delta _2}\) đi qua \({M_2}\left( { - 2;0;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {1;1;2} \right)\)
\(\overrightarrow {I{M_2}} = \left( { - 3; - 1;0} \right)\)
\(\left( {{\alpha _2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {I{M_2}} } \right] = \left( {2; - 6;2} \right)\)
• d đi qua điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 40; - 20; - 20} \right)\)
Vậy phương trình đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ $\frac{{x - 4}}{5} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 5}}{5}$ cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$ , ${d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 3 = 0\). Gọi ∆ là đường thẳng song song với \(\left( P \right)\) và cắt \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) lần lượt tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB = \sqrt {29} \). Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là
A. ∆ :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\)hoặc ∆ : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2 + 4t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right..\)
B. ∆ :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right..\)
C. ∆ :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right..\)
D. ∆ : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2 + 4t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + 2a; - 1 + a;a} \right)\\B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {1 + b;2 + 2b;b} \right)\end{array}\)
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 + 2b - a;b - a} \right)\)
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 2} \right)\)
Vì \(\Delta //\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Leftrightarrow b = a - 3\).Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a - 3;a - 3; - 3} \right)\)
Theo đề bài: \(AB = \sqrt {29} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {3;0;1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2; - 3} \right)\\A\left( { - 1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4; - 3} \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đưởng thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2 + 4t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\)
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Gọi ∆ là đường thẳng song song với \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\) và cắt \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) lần lượt tại hai điểm \(A,B\) sao cho\(AB\) ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng ∆ là.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12 - t\\y = 5\\z = - 9 + t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \frac{5}{2}\\z = - \frac{9}{2} + t\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{5}{2} - t\\z = - \frac{9}{2} + t\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 2t\\y = \frac{5}{2} + t\\z = - \frac{9}{2} + t\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + 2a;a; - 2 - a} \right)\\B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b} \right)\end{array}\)
$\Delta $ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4} \right)\)
$\left( P \right)$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$
Vì \(\Delta //\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1\).Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a - 1;2a - 5;6 - a} \right)\)
$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { - a - 1} \right)}^2} + {{\left( {2a - 5} \right)}^2} + {{\left( {6 - a} \right)}^2}} \\{\rm{ }} = \sqrt {6{a^2} - 30a + 62} \\{\rm{ }} = \sqrt {6{{\left( {a - \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{49}}{2}} \ge \frac{{7\sqrt 2 }}{2};\forall a \in \mathbb{R}\end{array}$
Dấu xảy ra khi $a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( {6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2}} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2}} \right)$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A\left( {6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2}} \right)$ và vec tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;0;1} \right)$
Vậy phương trình của $\Delta $là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = \frac{5}{2}\\z = - \frac{9}{2} + t\end{array} \right.\)
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\). Đường thẳng d song song với $\left( P \right):x + y - 2z + 5 = 0$ và cắt hai đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là
A. \(x - 1 = y - 2 = z - 2.\)
B. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\)
C. \(x + 1 = y + 2 = z + 2.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
Gọi \(A = d \cap {\Delta _1},B = d \cap {\Delta _2}\)
\(\begin{array}{l}A \in {\Delta _1} \Rightarrow A\left( { - 1 + a; - 2 + 2a;a} \right)\\B \in {\Delta _2} \Rightarrow B\left( {2 + 2b;1 + b;1 + b} \right)\\\overrightarrow {AB} = \left( { - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1} \right)\\d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4\\\overrightarrow {AB} = \left( {a - 5; - a - 1; - 3} \right)\\AB = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 27} \ge 3\sqrt 3 ;\forall a \in \mathbb{R}\end{array}\)
Dấu xảy ra khi \(a = 2 \Rightarrow A\left( {1;2;2} \right),B\left( { - 2; - 1; - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\)
d đi qua điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;1;1} \right)\)
Vậy phương trình của d là $x - 1 = y - 2 = z - 2$
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{1},\) mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - z + 5 = 0\) và \(M\left( {1; - 1;0} \right)\). Đường thẳng ∆ đi qua điểm \(M\), cắt d và tạo với \(\left( P \right)\) một góc \({30^0}\). Phương trình đường thẳng ∆ là.
A. $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}$ và $\frac{{x + 4}}{5} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 5}}{5}.$
B. $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 4}}{5} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 5}}{5}.$
C. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 1}}{{23}} = \frac{{y + 1}}{{14}} = \frac{z}{{ - 1}}.$
D. $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 4}}{5} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 5}}{5}.$
Gọi \(N = \Delta \cap d\)
\(N \in d \Rightarrow N\left( {2 + 2t;t; - 2 + t} \right)\)
∆ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} = \left( {1 + 2t;1 + t; - 2 + t} \right)\)
\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)
\(\sin \left[ {d,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1;1 - 2} \right)\\t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{23}}{5};\frac{{14}}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)
∆ đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_d}} = \overrightarrow {MN} \)
Vậy phương trình của ∆ là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 1}}{{23}} = \frac{{y + 1}}{{14}} = \frac{z}{{ - 1}}$
 
Sửa lần cuối: