Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và thỏa mãn...

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình đường Thẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M(1;2;3)\); \(A(1;0;0)\) ; \(B(0;0;3).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A, B đến \(\Delta \) lớn nhất.
A. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\) .
B. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{2}\).
C. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{6} = \frac{{z - 3}}{2}\).
D. \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\).

Ta có \(d(A;\Delta ) + d(B;\Delta ) \le MA + MB\).
Để tổng khoảng cách từ các điểm A; B đến \(\Delta \) lớn nhất thì:
\(d(A;\Delta ) + d(B;\Delta ) = MA + MB \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MA \bot \Delta }\\{MB \bot \Delta }\end{array}} \right.\).
Suy ra d qua M có VTCP \(\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right) = \left( { - 6;3; - 2} \right) = \left( {6; - 3;2} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) cần tìm là: \(\Delta :\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{2}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;2} \right)\)
Đường thẳng AB đi qua B(1;0;3) và nhận \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) làm VTCP nên có phương trình là:
\(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.\)