Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {0;2; - 4} \right)\) và cắt hai đường thẳng d và \(\Delta .\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình đường Thẳng |
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\) và \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\) Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {0;2; - 4} \right)\) và cắt hai đường thẳng d và \(\Delta .\)
A. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 10t\\y = 2 + 17t\\z = - 4 - 15t\end{array} \right..\)
B. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 + 16t\\z = - 4 + 15t\end{array} \right..\)
C. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 10t\\y = 2 - 17t\\z = - 4 + 15t\end{array} \right..\)
D. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 11t\\y = 2 - 17t\\z = - 4 - 15t\end{array} \right..\)

Gọi d1 là đường thẳng cần tìm.
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua A và chứa d.
Lây \(B\left( {2;1; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng d, khi đó: \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;0; - 2} \right).\)
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua A và chứa \(\Delta \).
Lây \(C\left( { - 1;3; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), khi đó: \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( { - 7; - 5; - 1} \right).\)
Vậy \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} } \right] = \left( { - 10;17; - 15} \right).\)
Vì d1 qua A nên PT đường thẳng d1 là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 10t\\y = 2 + 17t\\z = - 4 - 15t\end{array} \right..\)