Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi \({G_1},{G_2},{G_3}\)và \({G_4}\) lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD và BCD . Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\).
A. \(4{a^3}\)
B.\({a^3}\)
C. \(108{a^3}\)
D.\(36{a^3}\)
Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được ${{V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \frac{1}{{27}}{V_{ABCD}}}$.
Thật vậy, ta có \(({G_2}{G_3}{G_4})\parallel (CBA)\) và (tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{3}\)) . Từ đó: \(\frac{{{S_{{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{S_{CBA}}}} = {k^2} = \frac{1}{9}\) và
\(\begin{array}{l}d({G_1},({G_2}{G_3}{G_4})) = d({G_4},(ABC))\\ = \frac{1}{3}d(D,(ABC))\;(do{\rm{ }}{G_4}M = \frac{1}{3}DM)\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{d({G_1},({G_2}{G_3}{G_4}))}}{{d(D,(ABC))}} \cdot \frac{{{S_{{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{{27}}\)
\( \Rightarrow {V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \frac{1}{{27}}{V_{ABCD}} = \frac{1}{{27}} \cdot \frac{1}{6}.AB.AC.AD = 4{a^3}\)
A. \(4{a^3}\)
B.\({a^3}\)
C. \(108{a^3}\)
D.\(36{a^3}\)
Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được ${{V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \frac{1}{{27}}{V_{ABCD}}}$.
Thật vậy, ta có \(({G_2}{G_3}{G_4})\parallel (CBA)\) và (tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{3}\)) . Từ đó: \(\frac{{{S_{{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{S_{CBA}}}} = {k^2} = \frac{1}{9}\) và
\(\begin{array}{l}d({G_1},({G_2}{G_3}{G_4})) = d({G_4},(ABC))\\ = \frac{1}{3}d(D,(ABC))\;(do{\rm{ }}{G_4}M = \frac{1}{3}DM)\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{{V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{d({G_1},({G_2}{G_3}{G_4}))}}{{d(D,(ABC))}} \cdot \frac{{{S_{{G_2}{G_3}{G_4}}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{{27}}\)
\( \Rightarrow {V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \frac{1}{{27}}{V_{ABCD}} = \frac{1}{{27}} \cdot \frac{1}{6}.AB.AC.AD = 4{a^3}\)