Tính thể tích V của hình lăng trụ ABC.A’B’C’

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân tại C, AB=AA'=a, góc giữa BC’ và mặt phẳng (ABB’A’) bằng 600. Tính thể tích V của hình lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \(V = \sqrt {15} {a^3}\)
B. \(V = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}{a^3}\)
C. \(V = \frac{{\sqrt {15} }}{{12}}{a^3}\)
D. \(V = \frac{{\sqrt {15} }}{4}{a^3}\)

Gọi M là trung điểm A’B’.

Khi đó góc giữa đường thẳng BC’ và (ABB’A’) bằng góc MBC’ và bằng 600.
Gọi AB=CB=x
Ta có:
\(BC{'^2} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \Rightarrow MC{'^2} = {x^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{4{x^2} - {a^2}}}{4}\)
\(\begin{array}{l} \sin {60^0} = \frac{{MC'}}{{BC'}} = \frac{{\sqrt {4{x^2} - {a^2}} }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow 4{x^2} - {a^2} = 3{a^2} + 3{x^2} \Rightarrow {x^2} = 4{a^2} \Rightarrow x = 2a \end{array}\)
\(\Rightarrow MC' = \frac{{\sqrt {15{a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)
\(V = AA'.{S_{A'B'C'}} = a.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{4}\)