Toán 12 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - m - 1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương.
A. \((4 - \sqrt 2 ; + \infty ).\)
B. \((1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\)
C. \(( - 1;0) \cup (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\)
D. \((4 - \sqrt 3 ; + \infty ).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - m - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6(m + 1)x + 6m;\forall x \in \mathbb{R}.\)
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m\end{array} \right.\)
Do hệ số của \({x^3}\) nên ta sẽ có hai trường hợp sau:
TH1. Nếu \({x_1} = 1 > {x_2} = m \Leftrightarrow m < 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\(2m - 2)(3{m^2} - {m^3} - m - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\{m^3} - 3{m^2} + m + 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .\)
TH2. Nếu \({x_1} = 1 < {x_2} = m \Leftrightarrow m > 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\(2m - 2)(3{m^2} - {m^3} - m - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^3} - 3{m^2} + m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 1 + \sqrt 2 \Rightarrow m \in (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\end{array}\)