Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\,(x \ne 0),\) biết rằng \(F( - 1) = 1,F(1) = 4,f(1) = 0.\)
A. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\)
B. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} - \frac{3}{{2x}} - \frac{1}{2}\)
C. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{4x}} - \frac{7}{2}\)
D. \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\left( {ax + b{x^{ - 2}}} \right)dx} \\ = \frac{{a{x^2}}}{2} + \frac{{b{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{b}{x} + C = F(x). \end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} F( - 1) = 1\\ F(1) = 4\\ f(1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{2} + b + C = 1\\ \frac{a}{2} - b + C = 4\\ a + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{3}{2}\\ b = - \frac{3}{2}\\ c = \frac{7}{4} \end{array} \right.\)
Vậy: \(F(x) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}\)