Tính diện tích S của tam giác OAB

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình đường Thẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{7} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt cắt \({d_1}\), \({d_2}\) tại A và B. Tính diện tích S của tam giác OAB.
A. \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
B. \(S = \sqrt 6 \)
C. \(S = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)
D. \(S = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)

Phương trình đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - t}\end{array}}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.;{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t'}\\{y = 1 + 7t'}\\{z = 3 - t'}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(A\left( {1 + 2t; - t; - 2 + t} \right) \in {d_1};B\left( { - 1 + t';1 + 7t';3 - t'} \right) \in {d_2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {t' - 2t - 2;7t' + t + 1;5 - t' - t} \right)\)
Vì AB là đoạn vuông góc chung của \({d_1};{d_2}\) nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t' - 2t - 2} \right).2 + \left( {7t' + t + 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {5 - t' - t} \right).1 = 0}\\{\left( {t' - 2t - 2} \right).1 + \left( {7t' + t + 1} \right).7 + \left( {5 - t' - t} \right).\left( { - 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t' = 0}\end{array} \Rightarrow A\left( {1;0; - 2} \right)} \right.;B\left( { - 1;1;3} \right)\)
Ta có: \(OA = \sqrt 5 ;OB = \sqrt {11} ;AB = \sqrt {30} ;p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {11} + \sqrt {30} }}{2}\)
\( \Rightarrow S = \sqrt {p\left( {p - OA} \right).\left( {p - OB} \right).\left( {p - AB} \right)} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)