Số nghiệm thuộc $\left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ của phương trình $2\sin 3x.\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 1$ là:
A. $40$.
B. $32$.
C. $41$.
D. $46$.
A. $40$.
B. $32$.
C. $41$.
D. $46$.
Chọn C
$2\sin 3x.\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sin 3x.\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 1$
TH1: $\cos x = 0\left( { \Rightarrow {{\sin }^2}x = 1} \right)$. PT có dạng:
$2\sin 3x.\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\left( {3\sin x - 4\sin x.1} \right)\left( {4.0 - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - \frac{1}{2}$ Vô lý vì ${\sin ^2}x = 1$
TH2:$\cos x \ne 0$. PT có dạng:
$2\sin 3x.\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sin 3x.\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 6x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x = \frac{\pi }{{104}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.$
Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{14}} \le \frac{\pi }{{12}} + k\frac{{2\pi }}{7} < \frac{{69\pi }}{{10}}\\\frac{\pi }{{14}} \le \frac{\pi }{{10}} + h\frac{{2\pi }}{5} < \frac{{69\pi }}{{10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{{24}} \le k < \frac{{2863}}{{120}}\\ - \frac{1}{{14}} \le h < 17\end{array} \right.$.
Có 24 giá trị k và có 17 giá trị h
$ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}$.
$2\sin 3x.\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sin 3x.\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 1$
TH1: $\cos x = 0\left( { \Rightarrow {{\sin }^2}x = 1} \right)$. PT có dạng:
$2\sin 3x.\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\left( {3\sin x - 4\sin x.1} \right)\left( {4.0 - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - \frac{1}{2}$ Vô lý vì ${\sin ^2}x = 1$
TH2:$\cos x \ne 0$. PT có dạng:
$2\sin 3x.\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sin 3x.\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 6x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x = \frac{\pi }{{104}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.$
Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{14}} \le \frac{\pi }{{12}} + k\frac{{2\pi }}{7} < \frac{{69\pi }}{{10}}\\\frac{\pi }{{14}} \le \frac{\pi }{{10}} + h\frac{{2\pi }}{5} < \frac{{69\pi }}{{10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{{24}} \le k < \frac{{2863}}{{120}}\\ - \frac{1}{{14}} \le h < 17\end{array} \right.$.
Có 24 giá trị k và có 17 giá trị h
$ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}$.
