Phương trình bậc nhất với sin và cosin

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương trình bậc nhất đối với sin và cos là một dạng khá cơ bản. Bài viết này giúp các em nắm vững phương pháp giải để áp dụng vào các bài toán một cách tốt nhất!

A. PHƯƠNG PHÁP

Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
  • Chia hai vế phương trình cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta được: (1) <=> $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x\,\, + \,\,\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x\,\, = \,\,\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
  • Đặt: $\sin \alpha \,\, = \,\,\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\,\,\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\,\,\,\,\left( {\alpha \,\, \in \,\,\left[ {0,\,\,2\pi } \right]} \right)$
phương trình trở thành: $\sin \alpha .\sin x\, + \cos \alpha .\cos x\,\, = \,\,\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
$ \Leftrightarrow \,\,\cos (x - \alpha )\,\, = \,\,\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\,\, = \,\,\cos \beta \,\,\,\,(2)$
  • Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\left| {\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right|\,\, \le \,\,1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{a^2} + {b^2}\,\, \ge \,\,{c^2}.$
* (2) $ \Leftrightarrow \,\,x\,\, = \,\,\alpha \, \pm \beta + k2\pi \,\,\,\,\,(k \in \,\,Z)$
Lưu ý:
  • $ \bullet $ $\sin x \pm \sqrt 3 \cos x = 2\left[ {\frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right] = 2\sin (x - \frac{\pi }{3})$
  • $ \bullet $ $\sqrt 3 \sin x \pm \cos x = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x \pm \frac{1}{2}\cos x} \right] = 2\sin (x \pm \frac{\pi }{6})$
  • $ \bullet $ $\sin x \pm \cos x = \sqrt 2 \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x} \right] = \sqrt 2 \sin (x \pm \frac{\pi }{4})$.
Cách 2:
a) Xét $x\,\, = \,\,\pi + k2\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,\,\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi $ có là nghiệm hay không?
b) Xét $x \ne \pi + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos \frac{x}{2} \ne 0.$
Đặt: $t = \tan \frac{x}{2},\,\,\,thay\,\,\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\,\,\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}},$ ta được phương trình bậc hai theo t: $(b + c){t^2} - 2at + c - b\,\, = \,\,0\,\,\,\,\,(3)$
Vì $x \ne \pi + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,b + c \ne 0,$ nên (3) có nghiệm khi:
$\Delta '\,\, = \,\,{a^2} - ({c^2} - {b^2})\,\, \ge \,\,0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{a^2} + {b^2}\,\, \ge \,\,{c^2}.$
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: $\tan \frac{x}{2}\,\, = \,\,{t_0}.$
Ghi chú:
1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: ${a^2} + {b^2}\,\, \ge \,\,{c^2}.$
3) Bất đẳng thức B. C. S:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \min y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - \sqrt {{a^2} + {b^2}} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\ {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \max y{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt {{a^2} + {b^2}} {\mkern 1mu} \\ {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{\sin x}}{a} = \frac{{\cos x}}{b}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{a}{b} \end{array}$

VÍ DỤ VẬN DỤNG

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
A. ${\sin ^2}x + \cos x - 1 = 0$.
B. $\sin 2x - \cos x = 0$.
C. $2\cos x + 3\sin x = 1$.
D. $2\cos x + 3\sin 3x = - 1$.
Chọn C.
Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ $\left( 1 \right)$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$ và ${a^2} + {b^2} \ne 0$ được gọi là phương trình bậc nhất đối với $\sin x,{\rm{ cos}}x$.
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm:
A. $2\cos x - 3 = 0$.
B. $3\sin 2x - \sqrt {10} = 0$.
C. ${\cos ^2}x - \cos x - 6 = 0$.
D. $3\sin x + 4\cos x = 5$.
Chọn ${\bf{D}}$.
câu D: $3\sin x + 4\cos x = 5$, đây là phương trình bậc nhất theo sinxvà cosx.
Phương trình trên có nghiệm vì ${3^2} + {4^2} = 25 \ge {5^2}$.
câu A: $2\cos x - 3 = 0$$ \Leftrightarrow \cos x = \frac{3}{2} > 1 \Rightarrow $ PT vô nghiệm.
câu B: $\sin 2x = \frac{{\sqrt {10} }}{3} > 1 \Rightarrow $ PT vô nghiệm.
câu C: ${\cos ^2}x - \cos x - 6 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 3 > 1\\\cos x = - 2 < - 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow $PT vô nghiệm.
Câu 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. $\sin x = \frac{1}{3}$.
B. $\sqrt 3 \sin x - \cos x = - 3$.
C. $\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2$.
D. $3\sin x - 4\cos x = 5$.
Chọn B.
PT $\sqrt 3 \sin x - \cos x = - 3$ vô nghiệm vì không thoả ĐK ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. $\cos x = \frac{1}{3}$.
B. $\sqrt 3 \sin x + \cos x = - 1$.
C. $\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2$.
D. $3\sin x - 4\cos x = 6$.
Chọn D.
câu A có nghiệm vì $\frac{1}{3} < 1$
câu B có nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = 3 + 1 = 4 > {\left( { - 1} \right)^2}$
câu C có nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = 3 + 1 = 4 = {\left( 2 \right)^2}$.
câu D vô nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = {3^2} + {4^2} = 25 < {6^2}$.
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. $2\sin x - \cos x = 3$.
B. tan x = 1.
C. $\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2$.
D. $3\sin x - 4\cos x = 5$.
Chọn A.
Câu A vô nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = {2^2} + {1^2} = 5 < {3^2}$.
Câu 6: Phương trình nào sau đây vô nghiệm.
A. $\sin x = \frac{1}{4}$.
B. $\sqrt 3 \sin x - \cos x = - 1$.
C. $\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 4$.
D. $3\sin x - 4\cos x = 5$.
Chọn C.
câu A có nghiệm vì $\frac{1}{4} < 1$
câu B có nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = 3 + 1 = 4 > {\left( { - 1} \right)^2}$
câu C vô nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = 3 + 1 = 4 < {\left( 4 \right)^2}$.
câu D có nghiệm vì ${a^2} + {b^2} = {3^2} + {4^2} = 25 = {5^2}$.
Câu 7: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
A. $\sqrt 3 \sin x = 2$
B. $\frac{1}{4}\cos 4x = \frac{1}{2}$
C. $2\sin x + 3\cos x = 1$
D. ${\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0$
Chọn C
Phương trình $\sqrt 3 \sin x = 2 \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$, mà $\frac{2}{{\sqrt 3 }} > 1$ nên phương trình vô nghiệm.
Phương trình $\frac{1}{4}\cos 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 4x = 2$ nên phương trình vô nghiệm.
Phương trình $2\sin x + 3\cos x = 1$có ${{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{3}}^{\rm{3}}}{\rm{ > 1}}$ nên phương trình có nghiệm.
Phương trình ${\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\cot t - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0$ nên phương trình vô nghiệm.
Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. $\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2$
B. $3\sin x - 4\cos x = 5$
C. $\sin x = \cos \frac{\pi }{4}$
D. $\sqrt 3 \sin x - \cos x = - 3$
Chọn D
Ta có: ${\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 4 < {\left( { - 3} \right)^2}$ nên phương trình $\sqrt 3 \sin x - \cos x = - 3$ vô nghiệm.
Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. $\sin x - \cos x = 3$
B. ${\rm{cos}}x + 3{\rm{sin}}x = - 1$
C. $\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2$
D. $2{\rm{sin}}x + 3{\rm{cos}}x = 1$
Đáp án A
$\sin x - \cos x \le ({1^2} + {( - 1)^2})({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 2 < 3$ nên phương trình vô nghiệm
$cosx + 3sinx \le ({1^2} + {3^2})({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 10 > - 1$ nên phương trình có nghiệm
$\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x \le ({(\sqrt 3 )^2} + {( - 1)^2})({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 10 > 2$ nên phương trình có nghiệm
$2sinx + 3cosx \le ({2^2} + {3^2})({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 13 > 1$ nên phương trình có nghiệm
Câu 10: Trong các phương trình phương trình nào có nghiệm:.
A. $\sin x + 2\cos x = 3$.
B. $\sqrt 2 \sin x + \cos x = 2$.
C. $\sqrt 2 \sin x + \cos x = - 1$.
D. $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 3$.
Chọn C.
Lần lượt thử các đáp án.
$\sin x + 2\cos x = 3$ vô nghiệm vì ${1^2} + {2^2} < {3^2}$nên loại đáp án A.
$\sqrt 2 \sin x + \cos x = 2$ vô nghiệm vì ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {1^2} < {2^2}$nên loại đáp án B.
$\sqrt 2 \sin x + \cos x = - 1$ có nghiệm vì ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {1^2} > {\left( { - 1} \right)^2}$. Vậy chọn C
Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm:
A. $\sin x + \cos x = \sqrt 3 $.
B. $\sqrt 2 \sin x + \cos x = 1$.
C. $\sqrt 2 \sin x + \cos x = - 1$.
D. $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 2$.
Chọn D.
Lần lượt thử các đáp án.
$\sin x + \cos x = \sqrt 3 $ vô nghiệm vì ${1^2} + {1^2} < {3^2}$ nên chọn đáp án A.
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
A. $\sqrt 3 \sin x = 2$.
B. $\frac{1}{4}\cos 4x = \frac{1}{2}$.
C. $2\sin x + 3\cos x = 1$.
D. ${\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0$.
Chọn ${\bf{C}}$.
câu C: $2\sin x + 3\cos x = 1$ là phương trình bậc nhất theo sinxvà cosx, phương trình có nghiệm khi ${2^2} + {3^2} > {1^2}$ (đúng).
câu A: $\sqrt 3 \sin x = 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{2}{{\sqrt 3 }} > 1$ $ \Rightarrow $ PTVN.
câu B: $\frac{1}{4}\cos 4x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \cos 4x = 2 > 1 \Rightarrow $ PTVN.
câu D: ${\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0$ vô nghiệm do $\Delta = - 19 < 0$.
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm?
A. $\cos 3x - \sqrt 3 \sin 3x = 2$.
B. $\cos 3x - \sqrt 3 \sin 3x = - 2$.
C. $\sin x = \frac{\pi }{3}$.
D. $3\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 4\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 5 = 0$.
Chọn C
Các phương trình ở đáp án A, B, D để có dạng $A\cos ax + B\sin ax = C$ và ${A^2} + {B^2} \ge {C^2}$ nên các phương trình này đều có nghiệm.
Phương trình ở đáp án C có dạng $\sin x = m$ với $m = \frac{\pi }{3} = \frac{{3,14}}{3} > 1$ nên phương trình này vô nghiệm.

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Câu
14: Giải phương trình $5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13$.
A. Vô nghiệm.
B. $x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \pi + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn A.
Lưu ý đối với câu này ta có thể dùng phương pháp thử phương án.
Ta có $5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\cos 2x = 16$(vô nghiệm) do ${5^2} + {( - 3)^2} < {16^2}$.
Câu 15: Phương trình $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin 5x$ có nghiệm là
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn C.
Chia hai vế PT cho $\sqrt 2 $ được $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x$ <=>$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin 5x$ <=>$\left[ \begin{array}{l}5x = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\5x = \pi - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$ <=>$\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$
Câu 16: Phương trình $2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 3$ có nghiệm là
A. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \frac{{4\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = \frac{{5\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn A
$2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 3$$ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = 3$$ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x = 1$$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1$$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi $$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Câu 17: Phương trình $\sin 8x - \cos 6x = \sqrt 3 \left( {\sin 6x + \cos 8x} \right)$ có các họ nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{7}\end{array} \right.$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{5} + k\pi \\x = \frac{\pi }{7} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.$.
Chọn A.
$\sin 8x - \cos 6x = \sqrt 3 \left( {\sin 6x + \cos 8x} \right) \Leftrightarrow \sin 8x - \sqrt 3 \cos 8x = \sqrt 3 \sin 6x + \cos 6x$.
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 8x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 8x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 6x + \frac{1}{2}\cos 6x \Leftrightarrow \sin \left( {8x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {6x + \frac{\pi }{6}} \right)$.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - \frac{\pi }{3} = 6x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\8x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} - 6x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{7}\end{array} \right.\,\,\,,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 18: Phương trình: $3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x$ có các nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{9}\\x = \frac{{7\pi }}{6} + k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{9}\\x = \frac{{7\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{{2\pi }}{9}\\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{54}} + k\frac{{2\pi }}{9}\\x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right.$.
Chọn D.
$3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x \Leftrightarrow 3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1$.
$ \Leftrightarrow \sin 9x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {9x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\9x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9x = - \frac{\pi }{{54}} + \frac{{k2\pi }}{9}\\9x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{9}\end{array} \right.\,\,\,,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 19: Phương trình $8\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}$ có nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{4\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.$.
Chọn B
Điều kiện: $\sin x.\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{m\pi }}{2},m \in \mathbb{Z}$ (1). Phương trình đã cho tương đương:
$8\cos x = \frac{{\sqrt 3 \cos x + \sin x}}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} \Leftrightarrow 4\sin 2x.\cos x = \sqrt 3 \cos x + \sin x$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \sin 3x} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sin x \Leftrightarrow 2\sin 3x = \sqrt 3 \cos x - \sin x$
$ \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{3}.\cos x - \cos \frac{\pi }{3}.\sin x$
$ \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{3} - x + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{3} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}$;$x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
CÁCH KHÁC:
Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …).
Kiểm tra giá trị $x = \frac{\pi }{{16}}$ của đáp án A, $x = \frac{\pi }{8}$ của đáp án C,$x = \frac{\pi }{9}$ của đáp án C đều không thỏa phương trình (chú ý chỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ nghiệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị $x = \frac{\pi }{{12}}$ của đáp án B thỏa phương trình.
Câu 20: Phương trình $\sin 4x + c{\rm{os}}7x - \sqrt 3 (\sin 7x - c{\rm{os4}}x) = 0$có nghiệm là
A. $x = \frac{\pi }{6} + k2\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\frac{\pi }{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{66}} + k2\frac{\pi }{{11}}\end{array} \right.(k \in Z)$.
C. $x = \frac{{5\pi }}{{66}} + k2\frac{\pi }{{11}},k \in \mathbb{Z}$.
D. khác
Chọn B
$\sin 4x + c{\rm{os}}7x - \sqrt 3 (\sin 7x - c{\rm{os4}}x) = 0$$ \Leftrightarrow \sin 4x + \sqrt 3 \cos 4x = \sqrt 3 \sin 7x - \cos 7x$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 4x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 7x - \frac{1}{2}\cos 7x$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {7x - \frac{\pi }{6}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{3} = 7x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {7x - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\11x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} - \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{66}} + \frac{{k2\pi }}{{11}}\end{array} \right.$$(k \in \mathbb{Z})$
Câu 21: Phương trình: ${\left( {\sin \frac{x}{2} + c{\rm{os}}\frac{x}{{\rm{2}}}} \right)^2} + \sqrt 3 {\rm{cosx = 2}}$có nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B. $\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C. $x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
D. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Đáp án B
${\left( {\sin \frac{x}{2} + c{\rm{os}}\frac{x}{{\rm{2}}}} \right)^2} + \sqrt 3 {\rm{cosx = 2}} \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}c{\rm{os}}\frac{x}{{\rm{2}}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{{\rm{2}}} + \sqrt 3 {\rm{cosx = 2}}$
$ \Leftrightarrow 1 + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \sqrt 3 {\rm{cosx = 2}} \Leftrightarrow {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \sqrt 3 {\rm{cosx = }}1$
$\frac{1}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{cosx = }}\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}sinx + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}{\rm{cosx = }}\frac{1}{2}$
$\cos (x - \frac{\pi }{6}) = cos\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})$
Câu 22: Phương trình: $2\sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \sqrt 3 + 1$ có nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{4} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{16}} + k\pi \end{array} \right.$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.$.
Chọn B
$2\sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \sqrt 3 + 1$$ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = \sqrt 3 + 1$
$ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{3}.\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \frac{\pi }{3}.\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}$.
$ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}$.$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{{7\pi }}{{12}} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}$.
Câu 23: Phương trình: $4\sin x.\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos 3x = 1$ có các nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = k\pi \end{array} \right.$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.$.
Chọn A
$4\sin x.\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos 3x = 1$$ \Leftrightarrow 2\sin x\left[ {\cos \frac{\pi }{3} - \cos \left( {2x + \pi } \right)} \right] + \cos 3x = 1$
$ \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\frac{1}{2} + \cos 2x} \right) + \cos 3x = 1$$ \Leftrightarrow \sin x + 2\sin x.\cos 2x + \cos 3x = 1$
$ \Leftrightarrow \sin x + \left( { - \sin x + \sin 3x} \right) + \cos 3x = 1$$ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.$
Câu 24: Phương trình $2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right).\cos x = 3 + \cos 2x$có nghiệm là:
A. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi $.
B. $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi $.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
D. Vô nghiệm.
Chọn D
$2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right).\cos x = 3 + \cos 2x$$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x$
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x$$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 $
Ta có: ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} < {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2}$ nên phương trình vô nghiệm.
Câu 25: Phương trình $2\sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \sqrt 3 + 1$ có nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{4} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{16}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn A.
Phương trình $ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 1 + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 + 1$.
$ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right).\cos \frac{\pi }{6} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right).\sin \frac{\pi }{6} = \sin \frac{\pi }{3}$
$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \\2x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 26: Giải phương trình $\frac{1}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{\cos 2x}} = \frac{2}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in4}}x}}$
A. $x = k\pi ,\,\,x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
C. Vô nghiệm.
D. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn C.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0$.
Phương trình đề bài$ \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1$. Suy ra: ${\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} = 1$ $ \Leftrightarrow \sin 4x = 0$ (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu
27: Phương trình $1 + cosx + co{s^2}x + cos3x - si{n^2}x = 0$ tương đương với phương trình.
A. $cosx\left( {cosx + cos3x} \right) = 0$.
B. $cosx\left( {cosx - cos2x} \right) = 0$.
C. $sinx\left( {cosx - cos2x} \right) = 0$.
D. $cosx\left( {cosx + cos2x} \right) = 0$.
Chọn D.
$1 + cosx + co{s^2}x + cos3x - si{n^2}x = 0 \Leftrightarrow 1 + cosx + \left( {co{s^2}x - si{n^2}x} \right) + cos3x = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {cosx + cos3x} \right) + cos2x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2cos2xcosx + 2co{s^2}x = 0 \Leftrightarrow cosx\left( {cos2x + cosx} \right) = 0.$
Câu 28: Phương trình $\sin 3x - 4\sin x.\cos 2x = 0$ có các nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + n\pi \end{array} \right.$, $k,\,n \in \mathbb{Z}$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + n\pi \end{array} \right.$, $k,\,n \in \mathbb{Z}$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = \pm \frac{\pi }{4} + n\pi \end{array} \right.$,$k,\,n \in \mathbb{Z}$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + n\pi \end{array} \right.$, $k,\,n \in \mathbb{Z}$.
Chọn B.
Phương trình$ \Leftrightarrow \sin 3x - 2\left[ {\sin 3x + \sin \left( { - x} \right)} \right] = 0$$ \Leftrightarrow 2\sin x = \sin 3x$
$ \Leftrightarrow 2\sin x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x$$ \Leftrightarrow \sin x\left( {4{{\sin }^2}x - 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\4{\sin ^2}x = 1\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2n\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + n\pi \end{array} \right.,\left( {k,n \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 29: Số nghiệm thuộc $\left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ của phương trình $2\sin 3x\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 0$ là:
A. 40.
B. 34.
C. 41.
D. 46.
Chọn B.
Ta có: $2\sin 3x.\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\1 - 4{\sin ^2}x = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k\pi \\2x = \pm \frac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \pm \frac{\pi }{6} + l\pi \end{array} \right.$ ($k,l \in \mathbb{Z}$)
Nhận xét: Họ nghiệm $x = \frac{{k\pi }}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$và $x = \pm \frac{\pi }{6} + l\pi $, $l \in \mathbb{Z}$ không có nghiệm nào trùng nhau nên đếm số nghiệm thuộc $\left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ ứng với từng họ nghiệm, rồi lấy tổng sẽ được tổng số nghiệm của phương trình đề bài cho. Thật vậy:
$\frac{{k\pi }}{3} = \pm \frac{\pi }{6} + l\pi $$ \Leftrightarrow 2k - 6l = \pm 1$ : vô nghiệm với mọi $k$, $l \in \mathbb{Z}$
(Chú ý: ta cũng có thể biểu diễn các nghiệm này trên đường tròn lượng giác để thấy các nghiệm này không trùng nhau.)
Do đó:
+ Với $x = \frac{{k\pi }}{3}$. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ nên $\frac{\pi }{{14}} \le \frac{{k\pi }}{3} < \frac{{69\pi }}{{10}}$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{{14}} \approx 0,2 \le k < \frac{{207}}{{10}} = 20,7$ ($k \in \mathbb{Z}$)
Suy ra: $k \in \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}$. Có $20$ giá trị $k$ nên có $20$ nghiệm.
+ Với $x = \frac{\pi }{6} + l\pi $. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ nên $\frac{\pi }{{14}} \le \frac{\pi }{6} + l\pi < \frac{{69\pi }}{{10}}$
$ \Leftrightarrow - \frac{2}{{21}} \approx - 0,095 \le l < \frac{{101}}{{15}} \approx 6,7$, $l \in \mathbb{Z}$. Suy ra: $l \in \left\{ {0;1;2;3;...;6} \right\}$. Có $7$ giá trị $l$ nên có $7$ nghiệm.
+ Với $x = - \frac{\pi }{6} + l\pi $. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ nên $\frac{\pi }{{14}} \le - \frac{\pi }{6} + l\pi < \frac{{69\pi }}{{10}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{21}} \approx 0,238 \le l < \frac{{106}}{{15}} \approx 7,06$, $l \in \mathbb{Z}$. Suy ra: $l \in \left\{ {1;2;3;...;7} \right\}$. Có $7$ giá trị $l$ nên có $7$ nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình là $20 + 7 + 7 = 34$.
Câu 30: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt $\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x$ là:
A. $x = \frac{\pi }{6}$
B. $x = \frac{{5\pi }}{6}$
C. $x = \pi $
D. $x = \frac{\pi }{{12}}$
Chọn A.
Ta có $\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = - 1}\\{\sin x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$ $$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.$
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $x = \frac{\pi }{6}.$
Câu 31: Nghiệm của pt ${\cos ^2}x - \sin x\cos x = 0$ là:
A. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k\pi $
B. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $
C. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $
D. $x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k\pi $
Chọn A.
Ta có ${\cos ^2}x - \sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos x\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0{\rm{ }}}\\{\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 32: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt $2\sin x + 2\sqrt 2 \sin x\cos x = 0$ là:
A. $x = \frac{{3\pi }}{4}$
B. $x = \frac{\pi }{4}$
C. $x = \frac{\pi }{3}$
D. $x = \pi $
Chọn A.
Ta có
$\begin{array}{l}2\sin x + 2\sqrt 2 \sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0}\\{\cos x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.} \right.\end{array}$
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là: $x = \frac{{3\pi }}{4}.$
Câu 33: Tìm số nghiệm trên khoảng $( - \pi ;\pi )$ của phương trình : $2(sinx + 1)(si{n^2}2x - 3sinx + 1) = sin4x.cosx$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Chọn C.
Ta có phương trình đã cho tương đương với
$2\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2} - 3\sin x + 1} \right) = \sin 4x.\cos x$
$ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {3 - 6\sin x - \cos 4x} \right) = \sin 4x.\cos x$
$ \Leftrightarrow \left( {{\rm{sinx}} + {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{3}} - {\rm{6sinx}}} \right) - {\rm{sinx}}.{\rm{cos4x}} - {\rm{cos4x}} = {\rm{sin4x}}.{\rm{cosx}}$
$ \Leftrightarrow 3(1 - 2si{n^2}x) - 3sinx = sin5x + cos4x$
$ \Leftrightarrow 3\cos 2x + 3\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {5x - \frac{\pi }{2}} \right) + \cos 4x$
$ \Leftrightarrow 3.2.cos(\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}).cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}) = 2.cos(\frac{{9x}}{2} - \frac{\pi }{4}).cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4})$
$ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\left[ {3\cos (\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}) + \cos (\frac{{9x}}{2} + \frac{{3\pi }}{4})} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \cos (\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}).{\cos ^3}(\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos (\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}) = 0\\\cos (\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}) = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$.
Vì $x \in ( - \pi ;\pi )$ nên suy ra $x = - \frac{\pi }{2},x = \frac{\pi }{6},x = \frac{{3\pi }}{2}$.
Câu 34: Giải phương trình ${\sin ^2}2x + {\cos ^2}3x = 1$.
A. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
B. $x = k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}$
C. $x = \pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
D. $x = k\pi \,\, \vee \,\,x = k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}$
Chọn D.
${\sin ^2}2x + {\cos ^2}3x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}3x - {\cos ^2}2x = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {\cos 3x - \cos 2x} \right)\left( {\cos 3x + \cos 2x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow - 2\sin \frac{{5x}}{2}\sin \frac{x}{2}.2\cos \frac{{5x}}{2}.\cos \frac{x}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow - \sin 5x.\sin x = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 5x = 0\\\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{5}\\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Câu 35: Phương trình 4cos x - 2cos 2x - cos 4x = 1 có các nghiệm là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} = k\frac{{2\pi }}{3}\\x = k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
D. $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn ${\bf{A}}$.
$4\cos x - 2\cos 2x - \cos 4x = 1$$ \Leftrightarrow 4\cos x - 2\cos 2x = 1 + \cos 4x$
$ \Leftrightarrow 4\cos x = 2{\cos ^2}2x + 2\cos 2x$$ \Leftrightarrow 2\cos x = \cos 2x.\left( {\cos 2x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 2\cos x = \cos 2x.2{\cos ^2}x$$ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - \cos 2x.\cos x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \cos x.\left[ {1 - \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\cos x} \right] = 0$$ \Leftrightarrow \cos x.\left( { - 2{{\cos }^3}x + \cos x + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\ - 2{\cos ^3}x + \cos x + 1 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\left( {\cos x - 1} \right)\left( { - 2{{\cos }^2}x - 2\cos x - 1} \right) = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\\2{\cos ^2}x + 2\cos x + 1 = 0\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}$.
 
Sửa lần cuối: