Toán 12 Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Bài Toán Thực Tế ứng Dụng đạo Hàm|
Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x=x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0. Tìm V0?

A. V0=48
B. V0=16
C. V0=64
D. \(V_{0}=\frac{64}{3}\)

Đây là một dạng bài toán ứng dụng thực thế kết hợp cả phần tính thể tích khối đa diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I phần giải tích.
Trước tiên ta nhận thấy:
\(V = \left( {6 - x} \right)\left( {12 - 2x} \right)x = 2x{\left( {x - 6} \right)^2}\)
\(= 2x\left( {{x^2} - 12x + 36} \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\) trên \(\left( {0;6} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 48x + 72;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 64\).
Đền đây cần cẩn thận đọc kĩ yêu cầu đề bài để tránh nhằm lẫn.
“Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất”.
Nên \({V_0} = \frac{3}{4}.64 = 48\).