Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình đường Thẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 4} \right)\) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc \({90^0}\). Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. \(J\left( { - 3;2;7} \right)\)
B. \(H\left( { - 2; - 1;3} \right)\)
C. \(K\left( {3;0;15} \right)\)
D. \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\)

Phương trình đường thẳng d qua A và có VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 4} \right):\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = - 3 - 4t\end{array} \right.\)
Vì \(B \in d \Leftrightarrow B\left( {3b + 1;4b + 2; - 4b - 3} \right)\) kết hợp \(B \in \left( P \right)\), thay vào phương tình (P) tìm được \(b = - 1 \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\)
Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) cũng là vecto chỉ phương của AA’ nên:
Phương tình tham số của AA’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.\)
\(A' \in AA' \Rightarrow A'(1 + 2t;2 + 2t; - 3 - t)\)
Mặc khác \(A' \in \left( P \right)\) thay vào phương trình (P) tìm được \(A'\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\).
Do điểm M luôn nhìn đoạn AB dưới góc \({90^0}\) nên: \(M{A^2} + M{B^2} = A{B^2} \Leftrightarrow M{B^2} = A{B^2} - M{A^2} \le A{B^2} - A'{A^2} = A'{B^2}\)
Độ dài MB lớn nhất khi \(M \equiv A'.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {A'B} = (1;0;2).\)
Vậy phương trình của MB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - 2}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
Ta thấy \(I\left( { - 1; - 2;3} \right)\) thuộc MB.