Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 9 trang 26 phần ôn tập khối đa diện
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(E\) và cắt \(SD\) tại \(F\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEMF\).
Gọi \(H = AC \cap BD\).
Hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên chân \(H\) của đường cao \(SH\) chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\) cắt mặt phẳng \((SDB)\) theo một giao tuyến song song với \(BD\)\. Ta dựng giao tuyến \(EF\) như sau: Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SH\). Qua \(I\) ta dựng một đường thẳng song song với \(BD\), đường này cắt \(SB\) ở \(E\) và cắt \(SD\) ở \(F\).
Ta có: \(HA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \((ABCD)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH} = {60^0}\)
Tam giác cân \(SAC\) có \(SA = SC\) và góc \(SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: \(I\) là giao điểm của các trung tuyến \(AM\) và \(AH\) nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC \( \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Do \(EF // DB \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Vì \(DB = a\sqrt2\) \( \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\)
Tam giác \(SAC\) là tam giác đều nên \(AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF\)
Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: \({S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Mặt khác, tam giác \(ASC\) là tam giác đều, \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AM \bot SC\). Ta cũng có \(DB \bot (SAM)\) \( \Rightarrow DB \bot SC\) vì \(DB // EF\) nên \(EF \bot SC\). Từ kết quả trên, suy ra \(SM \bot(AEMF)\).
Dễ thấy \(SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) (do tam giác \(SAC\) đều). Do đó: \({V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\), cắt \(SB\) tại \(E\) và cắt \(SD\) tại \(F\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEMF\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(H = AC \cap BD\).
Hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên chân \(H\) của đường cao \(SH\) chính là tâm của đáy.
Mặt phẳng đi qua \(AM\) và song song với \(BD\) cắt mặt phẳng \((SDB)\) theo một giao tuyến song song với \(BD\)\. Ta dựng giao tuyến \(EF\) như sau: Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SH\). Qua \(I\) ta dựng một đường thẳng song song với \(BD\), đường này cắt \(SB\) ở \(E\) và cắt \(SD\) ở \(F\).
Ta có: \(HA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \((ABCD)\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH} = {60^0}\)
Tam giác cân \(SAC\) có \(SA = SC\) và góc \(SAC = 60^0\) nên nó là tam giác đều: \(I\) là giao điểm của các trung tuyến \(AM\) và \(AH\) nên I là trọng tâm của tam giác đều SAC \( \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Do \(EF // DB \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}\)
Vì \(DB = a\sqrt2\) \( \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}\)
Tam giác \(SAC\) là tam giác đều nên \(AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF\)
Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: \({S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Mặt khác, tam giác \(ASC\) là tam giác đều, \(M\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AM \bot SC\). Ta cũng có \(DB \bot (SAM)\) \( \Rightarrow DB \bot SC\) vì \(DB // EF\) nên \(EF \bot SC\). Từ kết quả trên, suy ra \(SM \bot(AEMF)\).
Dễ thấy \(SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) (do tam giác \(SAC\) đều). Do đó: \({V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}\).