Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 7 trang 26 phần ôn tập khối đa diện
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích của khối chóp đó.
Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và từ \(H\) kẻ \(HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA\).
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
\(SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC\) do đó:
\(\begin{array}{l}
\widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SIH} = {60^0}\\
\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SJH} = {60^0}\\
\widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SKH} = {60^0}
\end{array}\)
Từ đây ta có: \(△SIH = △SJH = △SKH\) (g.g)
\( \Rightarrow IH = JH = KH\)
\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(△ABC\).
Tam giác \(ABC\) có chu vi: \(2p = AB + BC + CA = 18a \Rightarrow p = 9a\)
Theo công thức Hê-rông, ta có: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}\)
\( = \sqrt {9a.4a.2a.3a} = 6{a^2}\sqrt 6 \)
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\):
\(IH = r = {{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}\)
Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = r . tan60^0\) = \({{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3 = 2a\sqrt 2 \)
Vậy thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6 = 8{a^3}\sqrt 3 \)
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích của khối chóp đó.
Lời giải chi tiết
Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và từ \(H\) kẻ \(HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA\).
Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:
\(SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC\) do đó:
\(\begin{array}{l}
\widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SIH} = {60^0}\\
\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SJH} = {60^0}\\
\widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SKH} = {60^0}
\end{array}\)
Từ đây ta có: \(△SIH = △SJH = △SKH\) (g.g)
\( \Rightarrow IH = JH = KH\)
\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(△ABC\).
Tam giác \(ABC\) có chu vi: \(2p = AB + BC + CA = 18a \Rightarrow p = 9a\)
Theo công thức Hê-rông, ta có: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}\)
\( = \sqrt {9a.4a.2a.3a} = 6{a^2}\sqrt 6 \)
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\):
\(IH = r = {{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}\)
Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = r . tan60^0\) = \({{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3 = 2a\sqrt 2 \)
Vậy thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6 = 8{a^3}\sqrt 3 \)