Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 6 trang 26 phần ôn tập khối đa diện
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).
b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).
Vì hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc \(SAH = 60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) thì \(AM\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\):
\(AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\(AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
\(SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \({{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)
Xét tam giác vuông SBM ta có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).
Qua B kẻ \(BD \bot SA\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)
Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.
\(SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)
Xét tam giác vuông ADM có: \(DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).
Xét tam giác vuông SDM có: \(SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
\({{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)
b) Ta có: \(S_{ABC}\) = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\); \(SH = AH.tan60^0 = a\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
Từ kết quả câu a) ta có:
\({V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \( \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
\( \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).
b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).
Lời giải chi tiết
a)Vì hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc \(SAH = 60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) thì \(AM\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\):
\(AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\(AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
\(SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \({{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)
Xét tam giác vuông SBM ta có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).
Qua B kẻ \(BD \bot SA\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)
Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.
\(SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)
Xét tam giác vuông ADM có: \(DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).
Xét tam giác vuông SDM có: \(SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:
\({{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)
b) Ta có: \(S_{ABC}\) = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\); \(SH = AH.tan60^0 = a\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
Từ kết quả câu a) ta có:
\({V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \( \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
\( \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)