Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 4 trang 140 phần Ôn tập Chương IV phần Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).
+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)
+) Trường hợp \(∆ < 0\), gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó các nghiệm của phương trình là:
\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}\).
Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆ < 0\).
Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).
Lời giải bài tập
Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)
+) Trường hợp \(∆ < 0\), gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó các nghiệm của phương trình là:
\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\\\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\end{array}\).
Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆ < 0\).