Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 2 trang 18 phần Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Cho hình lập phương \((H)\). Gọi \((H’)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của \((H)\). Tính tỉ số diện tích toàn phần của \((H)\) và \((H’)\).
Gọi \(M\) là tâm của hình vuông \(AMCD\); \(Q\) là tâm hình vuông \(ADD'A'\); \(P\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\); \(N\) là tâm hình vuông \(BCC'B'\); \(E\) là tâm hình vuông \(DCC'D'\) và \(F\) là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\).
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ)
Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}' = {1 \over 2}\sqrt 2a \)
Ta có \({S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt 2a } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3 \)
Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \)
Do đó: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)
Cho hình lập phương \((H)\). Gọi \((H’)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của \((H)\). Tính tỉ số diện tích toàn phần của \((H)\) và \((H’)\).
Lời giải chi tiết
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \(S_1 = 6. a^2\)Gọi \(M\) là tâm của hình vuông \(AMCD\); \(Q\) là tâm hình vuông \(ADD'A'\); \(P\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\); \(N\) là tâm hình vuông \(BCC'B'\); \(E\) là tâm hình vuông \(DCC'D'\) và \(F\) là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\).
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là \(8\) lần diện tích tam giác đều \(MQE\) (hình vẽ)
Xét tam giác \(ACD’\), ta có \(M, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AD’\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD’\), do đó \(MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}' = {1 \over 2}\sqrt 2a \)
Ta có \({S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt 2a } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3 \)
Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3 = {a^2}\sqrt 3 \)
Do đó: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \)