Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)
b) \(\tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)
Xét hàm số: \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)
Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x>0\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right).\)
\(\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \text{ta có} \, f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).\)
b) \(\tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)
Xét hàm số: \(y=g\left( x \right)=\tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)
Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).\)
Với \(\forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0\) nên ta có: \(\tan x+x>0\) và \(\tan x-x>0\) (theo câu a) \(\Rightarrow y'>0\,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)
Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).\)
\(\Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).\)
a) \(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)
b) \(\tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)
Giải
a) \(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)Xét hàm số: \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)
Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x>0\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right).\)
\(\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \text{ta có} \, f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).\)
b) \(\tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)
Xét hàm số: \(y=g\left( x \right)=\tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)
Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).\)
Với \(\forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0\) nên ta có: \(\tan x+x>0\) và \(\tan x-x>0\) (theo câu a) \(\Rightarrow y'>0\,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)
Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).\)
\(\Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).\)
Học lớp 12