Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {z + 1 - i} \right|\) là:

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {z + 1 - i} \right|\) là:
A. 2
B. \(2\sqrt 2 .\)
C. \(\sqrt 2 .\)
D. 8

Ta có w là số thực nên \(\frac{1}{{\rm{w}}} = z + \frac{2}{z}\) là số thực.
Đặt \(z = a + bi\,(a;b \in \mathbb{R})\)
Mà z không phải là số thực nên \(b \ne 0.\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\rm{w}}} = a + bi + \frac{{2\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là số thực khi \(b - \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(loai)\\{a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Tập hợp các điểm A(x,y) điểm biểu diễn z là đường tròn \(O\left( {0;0} \right);R = \sqrt 2 .\)
Ta có: \(M = \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {(x + 1) + (y - 1)i} \right| = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = AB\) với B(-1;1).

M đạt giá trị lớn nhất khi đoạn thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}A(x;y) \in \left( C \right)\\B( - 1;1) \in \left( C \right)\end{array} \right.\) nên \(A{B_{\max }} = 2R = 2\sqrt 2 .\)
Vậy \({M_{\max }} = 2\sqrt 2 .\)