Dạng 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Thí dụ 1. Giải và biện luận các phương trình: mx$^2$ - 2mx + m - 1 = 0. (1)
Xét hai trường hợp của m.
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được: (1) <=> -1 = 0, mâu thuẫn => phương trình vô nghịêm.
Trường hợp 2: Với m ≠ 0, ta có Δ' = m.
a. Nếu Δ' < 0 <=> m < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
b. Nếu Δ' > 0 <=> m > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x$_{1,2}$ = $\frac{{m \pm \sqrt m }}{m}$.
Kết luận:

• Với m ≤ 0, phương trình vô nghiệm.
• Với m > 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x$_{1,2}$ = $\frac{{m \pm \sqrt m }}{m}$.

* Chú ý:
1. Chúng ta có thể trình bày bài toán trên bằng bảng, như sau:

2. Dựa trên tính chất đặc thù của phương trình chúng ta có thể thực hiện bài toán như sau:
Biến đổi phương trình về dạng: m(x$^2$ - 2x + 1) = 1 <=> m(x - 1)$^2$ = 1.
Nhận xét rằng:

• Với m ≤ 0, phương trình vô nghiệm.
• Với m > 0, ta được: (x - 1)$^2$ = $\frac{1}{m}$ <=> x - 1 = ±$\frac{1}{{\sqrt m }}$ <=> x = 1 ±$\frac{1}{{\sqrt m }}$.

3. Nếu bài toán chỉ yêu cầu biện luận theo m số nghiệm của phương trình thì chúng ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị, cụ thể:
Biến đổi phương trình về dạng: m(x$^2$ - 2x + 1) = 1.
Nhận xét rằng:

• Với m = 0, phương trình vô nghiệm.
• Với m ≠ 0, ta được: x$^2$ - 2x + 1 = $\frac{1}{m}$.

từ đó vẽ đồ thị hàm số y = x$^2$ - 2x + 1 rồi suy ra kết quả biện luận.

Thí dụ 2. Cho phương trình: mx$^2$-2(m-2)x + m-3 = 0. (1)
a. Tìm m để phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
a. Ta xét hai trường hợp của m:
Trường hợp 1: Với m = 0
(1) <=> 4x – 3 = 0 <=> x = $\frac{3}{4}$.
Trường hợp 2: Với m ≠ 0 thì Δ' = (m – 2)$^2$ – m(m – 3) = 4 - m
Để (1) có nghiệm <=> Δ' ≥ 0 <=> 4 - m ≥ 0 <=> m ≤ 4.
Vậy, với m ≤ 4 phương trình có nghiệm.

b. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\4 - m > 0\end{array} \right.$ <=> 0 ≠ m < 4.
Vậy, với 0 ≠ m < 4 phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt: x$^2$-2(m-1)x-m$^2$-m-1 = 0.
Ta có thể lựa chọn một trong ba cách trình bày sau:
Cách 1: Ta có: Δ = (m-1)$^2$ + m$^2$ + m + 1 = 2m$^2$-m + 2 = 2(m-$\frac{1}{4}$)$^2$ + $\frac{{15}}{8}$ > 0, ∀m
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2: Ta có: Δ = (m-1)$^2$ + m$^2$ + m + 1 = (m-1)$^2$ + (m + $\frac{1}{2}$)$^2$ + $\frac{3}{4}$ > 0, ∀m
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy, với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Cách 3: Ta có: a.c = -m$^2$-m-1 = -(m + $\frac{1}{2}$)$^2$-$\frac{3}{4}$ < 0, ∀m
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < 0 < x$^2$.
Vậy, với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Thí dụ 4. Chứng minh rằng với a$^2$ + b$^2$ > 0 phương trình sau luôn có nghiệm:
$\frac{{{a^2}}}{x}$ + $\frac{{{b^2}}}{{x - 1}}$ = 1.
Điều kiện x ≠ 0, 1. (*)
Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = x$^2$-(1 + a$^2$ + b$^2$)x + a$^2$ = 0. (1)
Ta có: Δ = (1 + a$^2$ + b$^2$)$^2$-4a$^2$ = (1 + a$^2$ + b$^2$-2a)(1 + a$^2$ + b$^2$ + 2a)
= [b$^2$ + (a-1)$^2$][b$^2$ + (a + 1)$^2$] > 0.
Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x$^2$.
Ta đi kiểm tra điều kiện (*), ta có: f(0) = a$^2$ và f(1) = -b$^2$.
Do a, b không đồng thời bằng 0 nên ít nhất một trong hai giá trị f(0) và f(1) khác 0.
Vậy, phương trình luôn có nghiệm.

Thí dụ 5. Cho hai phương trình:
x$^2$ + ax + b = 0 (1)
x$^2$ + cx + d = 0. (2)
Biết rằng ac ≥ 2(b + d). Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Gọi Δ(1), Δ(2) theo thứ tự là biệt số của phương trình (1) và (2), ta có:
Δ(1) = a$^2$ - 4b Δ(2) = c$^2$ - 4d.
Nhận xét rằng: Δ(1) + Δ(2) = a$^2$ - 4b + c$^2$ - 4d
= (a$^2$ + c$^2$) - 4(b + d) ≥ 2ac - 4(b + d) ≥ 4(b + d) - 4(b + d) = 0.
<=> Δ(1) + Δ(2) ≥ 0
<=> Ít nhất một trong hai Δ(1), Δ(2) không âm
<=> Ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm, đpcm.
* Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng kết quả: A + B ≥ 0 <=> tồn tại một số không âm.
Ngoài ra, chúng ta còn có:

1. Nếu A + B < 0 <=> tồn tại một số âm. Kết quả này được sử dụng để chứng minh "ít nhất một trong hai phương trình vô nghiệm ".
2. Nếu A.B < 0 <=> hai số trái dấu. Kết quả này được sử dụng để chứng minh "Chỉ có một trong hai phương trình có nghiệm ".
3. Nếu A.B > 0 <=> hai số cùng dấu. Kết quả này được sử dụng để chứng minh "Hoặc cả hai phương trình đề có hai nghiệm phân biệt hoặc chúng cùng vô nghiệm".

Thí dụ tiếp theo, sẽ minh hoạ lại phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Thí dụ 6. Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ ?
Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất quét sân một mình (x > 2).
Khi đó, x - 2 (giờ) là thời gian người thứ hai quét sân một mình.
Trong 1 giờ:

• Người thứ nhất quét được $\frac{1}{x}$(sân)
• Người thứ hai quét được $\frac{1}{{x - 2}}$(sân).

Vì cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút = $\frac{4}{3}$ giờ, nên trong 1 giờ làm được$\frac{3}{4}$ (sân).
Ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{{x - 2}}$ = $\frac{3}{4}$
<=> $\frac{{2x - 2}}{{x(x - 2)}}$ = $\frac{3}{4}$
<=> 3x$^2$ - 14x + 8 = 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 2} $ x = 4.
Vậy, thời gian người thứ nhất quét sân một mình là 4 giờ, do đó người thứ hai quét một mình hết 2 giờ.