Dạng 7: Ứng dụng định lý Vi-et tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Để tìm hệ thức liện hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham số là m), ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x$_1$, x$_2$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$.
  • Bước 2: Áp dụng định lí Viét, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = f(m)\\{x_1}.{x_2} = g(m)\end{array} \right.$. (I)
  • Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm.
* Chú ý: Trong nhiều trường hợp, việc khử tham số từ hệ (I) cần sử dụng các hằng đẳng thức, đặc biệt là các hằng đẳng lương giác, cụ thể:
a. Sin$^2$α + cos$^2$α = 1.
b. tanα.cotα = 1.
c. 1 + tan$^2$α = $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.
d. 1 + cot$^2$α = $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$.

Thí dụ 1. Cho phương trình: x$^2$-2(m + 1)x-m + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x$_1$ và x$_2$ của phương trình mà không phụ thuộc vào m.
Trước hết ta cần đi tìm m để phương trình có hai nghiệm x$_1$ và x$_2$ là: Δ' ≥ 0
<=> (m + 1)$^2$ + m – 1 ≥ 0 <=> m$^2$ + 3m ≥ 0 <=> m ∈ (–∞ ; –3] ∪ [0 ; +∞).
Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\2{x_1}{x_2} = 2 - 2m\end{array} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^ + $ x$_1$ + x$_2$ + 2x$_1$x$_2$ = 4.
Vậy, ta được x$_1$ + x$_2$ + 2x$_1$x$_2$ = 4 là hệ thức cần tìm.

Thí dụ 2. Cho phương trình: x$^2$-2xsinα + cosα-1 = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi α phương trình luôn có nghiệm.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào α.
a. Ta có: Δ' = sin$^2$α-cosα + 1 = sin$^2$α + (1-cosα) ≥ 0, ∀α.
Vậy, với mọi α phương trình luôn có hai nghiệm.

b. Giả sử x$_1$, x$_2$ là hai nghiệm của phương trình, ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\sin \alpha \\{x_1}.{x_2} = \cos \alpha - 1\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\\cos \alpha = {x_1}.{x_2} + 1\end{array} \right.$$\mathop \Rightarrow \limits^{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1} $${\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)^2}$ + (x$_1$x$_2$ + 1)$^2$ = 1
đó chính là hệ thức cần tìm.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao