Phương pháp thực hiện
Kí hiệu phương trình ban đầu là (1), ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt t = x + $\frac{{a + b}}{2}$, suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}x + a = t + \frac{{a - b}}{2}\\x + b = t - \frac{{a - b}}{2}\end{array} \right.$.
Khi đó, phương trình có dạng: 2t$^4$ + 12${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}$.t$^2$ + 2${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^4}$ = c. (2)
Bước 2: Đặt u = t$^2$, điều kiện u ≥ 0. Khi đó, phương trình có dạng:
2u$^2$ + 12${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}$.u + 2${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^4}$ = c. (3)
Bước 3: Chuyển điều kiện của bài toán thành điều kiện cho u.
Kí hiệu phương trình ban đầu là (1), ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt t = x + $\frac{{a + b}}{2}$, suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}x + a = t + \frac{{a - b}}{2}\\x + b = t - \frac{{a - b}}{2}\end{array} \right.$.
Khi đó, phương trình có dạng: 2t$^4$ + 12${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}$.t$^2$ + 2${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^4}$ = c. (2)
Bước 2: Đặt u = t$^2$, điều kiện u ≥ 0. Khi đó, phương trình có dạng:
2u$^2$ + 12${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2}$.u + 2${\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^4}$ = c. (3)
Bước 3: Chuyển điều kiện của bài toán thành điều kiện cho u.
Thí dụ: Cho phương trình:
(x + 2)$^4$ + (x + 6)$^4$ = m$^2$-2. (1)
a. Giải phương trình với $m = \sqrt {34} $.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2; -1).
Giải
Đặt t = x + $\frac{{2 + 6}}{2}$ = x + 4, suy ra:$\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = t - 2\\x + 6 = t + 2\end{array} \right.$.
Khi đó, phương trình (1) được chuyển về dạng:
(t-2)$^4$ + (t + 2)$^4$ = m$^2$ - 2 <=> 2t$^4$ + 48t$^2$ + 32 = m$^2$ - 2
<=> 2t$^4$ + 48t$^2$ -m$^2$ + 34 = 0. (2)
Đặt u = t$^2$, điều kiện u ≥ 0.
Khi đó, phương trình (2) được chuyển về dạng:
f(u) = 2u$^2$ + 48u-m$^2$ + 34 = 0. (3)
a. Với $m = \sqrt {34} $, ta được: (2) <=> 2t$^4$ + 48t$^2$ = 0 <=> t = 0 <=> x + 4 = 0 <=> x = -4.
Vậy, với $m = \sqrt {34} $ phương trình có nghiệm duy nhất x = -4.
b. Từ giả thiết: -2 < x <-1 <=> 2 < x + 4 < 3 <=> 2 < t < 3 => t$^2$ < 9 <=> u < 9.
Vậy, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-2; -1) khi:
(3) có 1 nghiệm ∈ (0; 9) <=> f(0).f(9) < 0 <=> (34 - m$^2$)(17044 - m$^2$) < 0
<=> 34 < m$^2$ < 17044 $ \Leftrightarrow \,\,\sqrt {34} < \left| m \right| < 2\sqrt {4261} .$
Vậy, với $\sqrt {34} < \left| m \right| < 2\sqrt {4261} $ thoả mãn điều kiện đầu bài.
Sửa lần cuối: