Dạng 7: Phương trình sử dụng ẩn phụ bậc hai

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Thí dụ 1. Giải và biện luận phương trình: (x-a)$^2$x$^2$ + a$^2$x$^2$ = 8(x-a)$^2$a$^2$, với a ≠ 0. (1)
Nhận xét rằng x = a ≠ 0 không phải là nghiệm của phương trình, khi đó chia cả hai vế của phương trình cho (x-a)$^2$ ≠ 0, ta được:
x$^2$ + $\frac{{{a^2}{x^2}}}{{{{(x - a)}^2}}}$ = 8a$^2$ <=> ${\left( {x + \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$ = 8a$^2$
<=> ${\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$ = 8a$^2$. (2)
Đặt t = $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$, khi đó phương trình được chuyển về dạng: t$^2$ - 2at - 8a$^2$ = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 4a\\t = - 2a\end{array} \right.$.
  • Với t = 4a, ta được: $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$ = 4a <=> x$^2$-4ax + 4a$^2$ = 0 <=> x1 = 2a thoả mãn (*).
  • Với t = -2a, ta được: $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$ = -2a <=> x$^2$ + 2ax - 2a$^2$ = 0 <=> x$_{2,3}$ = - a ± $\sqrt {3{a^2}} $ thoả mãn (*).
Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 = 2a, x$_{2,3}$ = a ± $\sqrt {3{a^2}} $.
* Nhận xét:
1. Ở dạng ban đầu, ta không thấy sự xuất hiện ẩn phụ, tuy nhiên để làm xuất hiện ẩn phụ ta viết lại phương trình dưới dạng:
(x)$^2$ + ${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$ = 8a$^2$..
Ta đưa ra nhận xét cho 2 số hạng trong vế trái của phương trình trên đóng vai trò A$^2$ + B$^2 $của hằng đẳng thức (A ± B)$^2$.
Khi đó, ta có được 2 hướng biến đổi:
$\left[ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} = {(A - B)^2} + 2AB\,\,\,\,\,\,(h1)\\{A^2} + {B^2} = {(A + B)^2} - 2AB\,\,\,\,\,\,(h2)\end{array} \right.$.
  • Nếu lựa chọn hướng thứ nhất: x$^2$ +${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$=${\left( {x - \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$+$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$=${\left( {\frac{{{x^2} - 2ax}}{{x - a}}} \right)^2}$+$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$.
Ta thấy rằng không có sự xuất hiện của ẩn phụ.
  • Nếu lựa chọn hướng thứ hai: x$^2$ +${\left( {\frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$=${\left( {x + \frac{{ax}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$= ${\left( {\frac{{{x^2}}}{{x - a}}} \right)^2}$-$\frac{{2a{x^2}}}{{x - a}}$.
Ở đây ẩn phụ đã xuất hiện, đó là $\frac{{{x^2}}}{{x - a}}$.
Như vậy việc lựa chọn hướng biến đổi đại số đúng cho mỗi phương trình bậc bốn nói riêng và các phương trình, bất phương trình nói chung là rất quan trọng.

2. Phương trình trên trên có dạng tổng quát: x$^2$ + $\frac{{{a^2}{x^2}}}{{{{(x + a)}^2}}}$ = b.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao