Dạng 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

Đối với phương trình bậc nhất 1 ẩn cũng có khá nhiều dạng toán, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán này và vận dụng giải các bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn từ đơn giản đến nâng cao qua bài viết này.

1. Phương trình một ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0).

• Thông thường để giải phương trình này ta chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế: ax + b = 0 <=>ax = b
• Nếu là phương trình tích thì ta biến đổi như sau: A(x) . B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

2. Phương pháp

Áp dụng phương pháp giải bài toán

1. Với bài toán "Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn" chúng ta sử dụng kiến thức đã biết trong phần lý thuyết.
2. Với bài toán "Tìm điều kiện để phương trình bậc nhất một ẩn có nghiệm thoả mãn điều kiện K" chúng ta thực hiện như sau:

Giả sử điều kiện cho ẩn số ( nếu cần) là K, khi đó ta có ĐKXĐ là tập D.
Biến đổi phương trình về dạng: ax = -b (1)
Khi đó:

1. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất: <=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\x = - b/a \in D\end{array} \right.$.
2. Phương trình (1) có nghiệm: <=> $\left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\x = - b/a \in D\end{array} \right.\end{array} \right.$.
3. Phương trình (1) có nghiệm ∀x ∈ D thường ta có điều kiện a = b = 0.
4. Phương trình ban đầu vô nghiệm: <=> $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\& \,\,b \ne 0\\\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\x = - b/a \notin D\end{array} \right.\end{array} \right.$.

* Chú ý: Trong nhiều trường hợp các em học lên trình bày đòi hỏi của bài toán thông qua các bước giải biện luận.

3. Bài tập phương trình một ẩn

Những thí dụ từ căn bản tới nâng cao
Thí dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m$^2$x + 6 = 4x + 3m.
Biến đổi phương trình về dạng: m$^2$x + 6 = 4x + 3m <=> (m$^2$ - 4)x = 3m - 6(*)
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m$^2$ - 4 ≠ 0 <=> m ≠ ± 2. Khi đó: (*) <=> x = $\frac{{3m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \frac{3}{{m + 2}}$
Trường hợp 2: Nếu m$^2$ - 4 = 0 <=> m = ± 2. Khi đó: (*) <=> $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\\ {0.x = - 12{\mkern 1mu} \left( {vo\,ly} \right)} \end{array}} \right.$
Kết luận:

• Khi m ≠ ± 2, phương trình có nghiệm x = $\frac{3}{{m + 2}}$.
• Khi m = 2, phương trình vô số nghiệm.
• Khi m = - 2, phương trình vô nghiệm.

* Nhận xét: Trong thí dụ trên, ta thấy tồn tại đầy đủ các khả năng được minh hoạ trong bài toán tổng quát, tuy nhiên sẽ tồn tại những bài toán là một trường hợp đặc biệt:

• Hệ số a ≠ 0 với mọi giá trị của tham số, khi đó ta kết luận ngay tính duy nhất nghiệm của phương trình.
• Hệ số a = 0 với mọi giá trị của tham số, khi đó ta biện luận cho b.

Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a, b: $\frac{{x + a}}{{b - a}}$ + $\frac{{x - a}}{{b + a}}$ = $\frac{2}{{{a^2} - {b^2}}}$.
Điều kiện a ≠ ± b.
Viết lại phương trình dưới dạng: -(a + b)(x + a) + (a - b)(x - a) = 2 <=> -bx = a$^2$ + 1.
Khi đó:

• Với b = 0, phương trình vô nghiệm.
• Với b ≠ 0, phương trình có nghiệm x = -$\frac{{{a^2} + 1}}{b}$.

Thí dụ 3. Xác định tham số để phương trình sau có tập hợp nghiệm là $\mathbb{R}$: m$^2$(mx-1) = 2m(2x + 1).
Ta biến đổi phương trình về dạng: (m3 - 4m)x = m$^2$ + 2m. (*)
Điều kiện để (*) có tập hợp nghiệm là $\mathbb{R}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}{m^3} - 4m = 0\\2m + {m^2} = 0\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 0 hoặc m = -2 phương trình có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Thí dụ 4. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m$^2$(x-1) = 4x-3m + 2 với x > 0.
Ta biến đổi phương trình về dạng: (m$^2$ – 4)x = m$^2$ – 3m + 2 <=> (m – 2)(m + 2)x = (m – 2)(m - 1).
Phương trình có nghiệm với x > 0 điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\frac{{m - 1}}{{m + 2}} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m > 1 hoặc m < -2 phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện đề bài.