Phương pháp áp dụng
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình Ax$^2$ + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2.
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P, ví dụ:
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình Ax$^2$ + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2.
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P, ví dụ:
- $x_1^2 + x_2^2$ = (x$_1$ + x$_2$)$^2$-2x$_1$x$_2$ = S$^2$-2P.
- $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$ = $\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$ = $\frac{S}{P}$.
- $x_1^3 + x_2^3$ = (x1 + x2)3-3x1x2(x1 + x2) = S3-3SP.
- $\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}}$ = $\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}}$ = $\frac{{{S^2} - 2P}}{{{P^2}}}$.
Thí dụ. Tìm m để phương trình: x$^2$ + 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm x$_1$, x$_2$. Khi đó hãy lập phương trình có hia nghiệm là -2x$_1$ và -2x$_2$.
Giải
Trước hết ta cần đi tìm m để phương trình có hai nghiệm x$_1$ và x$_2$ là: Δ' ≥ 0<=> (m + 1)$^2$ - 2m - 3 ≥ 0 <=> m$^2$ - 2 ≥ 0 <=> |m| ≥ $\sqrt 2 $. (*)
Khi đó, phương trình có hai nghiệm x$_1$, x$_2$, thỏa mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - 2(m + 1)\\P = {x_1}.{x_2} = 2m + 3\end{array} \right.$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 2{x_1} - 2{x_2} = - 2({x_1} + {x_2}) = 4(m + 1)\$ - 2{x_1}).( - 2{x_2}) = 4{x_1}.{x_2} = 4(2m + 3)\end{array} \right.$
do đó -2x$_1$ và -2x$_2$ là nghiệm của phương trình: t$^2$ – 4(m + 1)t + 4(2m + 3) = 0.
Sửa lần cuối: