Dạng 1: Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước:

  • Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình, khi đó ta có ĐKXĐ là tập D.
  • Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng bậc nhất hoặc bậc hai, rồi thực hiện giải nó.
  • Bước 3: Kết luận.

Thí dụ 1. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: $\frac{{x - m}}{{x - 1}}$ + $\frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ = 2. (1)
Điều kiện x ≠ ±1.
Viết lại phương trình dưới dạng: (m + 2)x = 4 - m. (2)
Ta xét hai trường hợp:
  • Trường hợp 1: Nếu m + 2 = 0 <=> m = -2 thì: (2) <=> 0.x = 6, mâu thuẫn => phương trình vô nghiệm.
  • Trường hợp 2: Nếu m - 2 ≠ 0 <=> m ≠ 2 thì: (2) <=> x = $\frac{{4 - m}}{{m + 2}}$.
Do đó (1) vô nghiệm <=> $\frac{{4 - m}}{{m + 2}} = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,\frac{{4 - m}}{{m + 2}} = - 1$<=> m = 1.
Vậy, với m = -2 hoặc m = 1 phương trình ban đầu vô nghiệm.
* Chú ý: Trong lời giải trên chúng ta trình bày theo các bước của bài toán giải biện luận, tuy nhiên cũng có thể trình bày dưới dạng:
Điều kiện x ≠ ±1.
Viết lại phương trình dưới dạng: (m + 2)x = 4 - m. (2)
Phương trình (1) vô nghiệm
<=> $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\4 - m \ne 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\\frac{{4 - m}}{{m + 2}} = 1\,\,\, \vee \,\,\,\frac{{4 - m}}{{m + 2}} = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 1\end{array} \right.$.
Tuy nhiên, cách trình bày kiểu này có thể khiến một vài em học sinh thấy phức tạp. Do vậy, nếu bài toán yêu cầu " Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm ( hoặc vô nghiệm ) " tốt nhất các em hãy trình bày theo các bước của bài toán giải biện luận.

Thí dụ 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ = $\frac{{x + 2}}{{x - m}}$. (1)
Tập xác định D = $\mathbb{R}$\{1, m}.
Viết lại phương trình dưới dạng: mx = 2 - m. (2)
Do đó (1) có nghiệm duy nhất:<=> $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\x \ne 1\\x \ne m\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\frac{{2 - m}}{m} \ne 1\\\frac{{2 - m}}{m} \ne m\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right.$<=> m{-2, 0, 1}.
Vậy, với m = $\mathbb{R}$\{-2, 0, 1} phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Thí dụ 3. Cho phương trình:$\frac{a}{{x - b}}$ + $\frac{b}{{x - a}}$ = 2. (1)
a. Tìm a, b để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm a, b để phương trình có nghiệm.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - a \ne 0\\x - b \ne 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ne a\\x \ne b\end{array} \right.$. (*)
Biến đổi phương trình về dạng:a(x – a) + b(x – b) = 2(x – a)(x – b)
<=> f(x) = 2x$^2$ – 3(a + b)x + a$^2$ + 2ab + b$^2$ = 0 (2)
Ta có Δ = 9(a + b)$^2$ – 8(a$^2$ + 2ab + b$^2$) = (a + b)$^2$ ≥ 0, ∀a, b.
a. Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f(a) \ne 0\\f(b) \ne 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{(a + b)^2} > 0\\{b^2} - ab \ne 0\\{a^2} - ab \ne 0\end{array} \right.$ <=> a ≠ 0, b ≠ 0 và a ≠ ±b.
Vậy, với a ≠ 0, b ≠ 0 và a ≠ ±b. phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b. Đáp số: Với mọi a, b không đồng thời bằng không.

Thí dụ 4. Giải và biện luận các phương trình: x + $\frac{1}{x}$ = $\frac{{a - b}}{{a + b}}$ + $\frac{{a + b}}{{a - b}}$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\a + b \ne 0\\a - b \ne 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\a \ne \pm b\end{array} \right.$.
Viết lại phương trình dưới dạng: (a$^2$-b$^2$)x$^2$-2(a$^2$ + b$^2$)x + a$^2$-b$^2$ = 0.(1)
Vì a ≠ ±b <=> a$^2$-b$^2$ ≠ 0, ta đi tính biệt thức Δ' = 4a$^2$b$^2$ ≥ 0.
Trường hợp 1: Nếu Δ' = 0 <=> 4a$^2$b$^2$ = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\& \,\,b \ne 0\\a \ne 0\,\,\& \,\,b = 0\end{array} \right.$.
• Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình (1) có nghiệm kép x$_0$ = -1.
• Với a ≠ 0 và b = 0, phương trình (1) có nghiệm kép x$_0$ = 1.
Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0 <=> 4a$^2$b$^2$ > 0 <=> a ≠ 0 và b ≠ 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = $\frac{{a - b}}{{a + b}}$ và x2 = $\frac{{a + b}}{{a - b}}$.
Kết luận:
  • Với a = ±b, phương trình vô nghiệm.
  • Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình có nghiệm kép x$_0$ = -1.
  • Với a ≠ 0 và b = 0, phương trình có nghiệm kép x$_0$ = 1.
  • Với a ≠ 0 và b ≠ 0 và a ≠ ±b, phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = $\frac{{a - b}}{{a + b}}$ và x2 = $\frac{{a + b}}{{a - b}}$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao