Chuyên đề bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Với nhiều dạng bài tiệm cận cũng như phương pháp giải nhanh đồ thị hàm số sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng giải bài trắc nghiệm. Nếu các em quên lý thuyết cũng như phương pháp giải, có thể xem cơ sở lý thuyết
Câu 1
Cho hàm số có bảng biến thiên sau
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=-1, y=1
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x=-1,x=1
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có có tiệm cận đứng.
Chọn A.
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}.\) Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
A. 1
B. 2
C. 0
D. Không thể xác định được
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = - 1\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\). Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số có tọa độ là:
A. (-1;2)
B. \((\frac{3}{2};2)\)
C. (2; -1)
D. \((-1;\frac{3}{2})\)
Tiệm cận đứng là đường thẳng: x = -1
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
Tìm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\)
A. y=3
B. y=2
C. y=1; y= -1
D. y=1
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}=1\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}=-1\)
Đáp án C
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}=-1\)
Đáp án C
Số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\) là bao nhiêu ?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Giải phương trình \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty\), suy ra x = 0 là 1 TCĐ.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty\), suy ra x =2 là 1 TCĐ.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 2\), suy ra y=2 là 1 TCN.
Vậy đáp án là D, 3 tiệm cận.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty\), suy ra x = 0 là 1 TCĐ.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty\), suy ra x =2 là 1 TCĐ.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 2\), suy ra y=2 là 1 TCN.
Vậy đáp án là D, 3 tiệm cận.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) không có tiệm cận ngang.
A. \(m \le 0\)
B. \(m = 0\)
C. \(m < 0\)
D. \(m > 0\)
Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\)
Xét:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt m }}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{{\sqrt m }}\)
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang thì không tồn tại thì \(\frac{1}{{\sqrt m }}; - \frac{1}{{\sqrt m }}\) không xác định \(\Leftrightarrow m \le 0\). Đáp án A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\)
Xét:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt m }}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{{\sqrt m }}\)
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang thì không tồn tại thì \(\frac{1}{{\sqrt m }}; - \frac{1}{{\sqrt m }}\) không xác định \(\Leftrightarrow m \le 0\). Đáp án A.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = - \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = + \infty\)
Nên x=2;x=9 là các tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = 1\)
Nên y = 1 là tiệm cận ngang.
Vậy D là phương án cần tìm.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = + \infty\)
Nên x=2;x=9 là các tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = 1\)
Nên y = 1 là tiệm cận ngang.
Vậy D là phương án cần tìm.
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên các khoảng \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = 2\). Với giả thiết đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x).
B. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x).
C. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x).
D. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x).
Ta có
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Vậy ta thấy C đúng.
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Vậy ta thấy C đúng.
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên các khoảng\((0; + \infty )\)và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = 2\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)
B. Đường thẳng x=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)
C. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)
D. Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\)
Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Vậy C đúng.
Vậy C đúng.
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) có 2 tiệm cận đứng.
A. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ { - 8} \right\}\)
B. $m \in \left( {1; + \infty } \right)$
C. \(m \in \left( { 1;+ \infty} \right)\backslash \left\{ { 8} \right\}\)
D. \(m \in \left( { - \infty;1} \right)\)
Để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) có hai tiệm cận đúng thì phương trình:
phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 và -2.
Xét: \({x^2} - 2x + m = 0\)
\(\begin{array}{l} \Delta = 1 - m\\ \Delta > 0 \Leftrightarrow m < 1 \end{array}\)
Khi đó phương trình có 2 nghiệm là:
\(\begin{array}{l} {x_1} = 1 - \sqrt {1 - m} \\ {x_2} = 1 + \sqrt {1 - m} \end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} \ne - 2\\ {x_1} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - \sqrt {1 - m} \ne - 2\\ 1 - \sqrt {1 - m} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 8\\ m \ne 1 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_2} \ne - 2\\ {x_2} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + \sqrt {1 - m} \ne - 2\\ 1 + \sqrt {1 - m} \ne 1 \end{array} \right.\, \Leftrightarrow m \ne 1\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ { - 8} \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.
phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 và -2.
Xét: \({x^2} - 2x + m = 0\)
\(\begin{array}{l} \Delta = 1 - m\\ \Delta > 0 \Leftrightarrow m < 1 \end{array}\)
Khi đó phương trình có 2 nghiệm là:
\(\begin{array}{l} {x_1} = 1 - \sqrt {1 - m} \\ {x_2} = 1 + \sqrt {1 - m} \end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} \ne - 2\\ {x_1} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - \sqrt {1 - m} \ne - 2\\ 1 - \sqrt {1 - m} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 8\\ m \ne 1 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_2} \ne - 2\\ {x_2} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + \sqrt {1 - m} \ne - 2\\ 1 + \sqrt {1 - m} \ne 1 \end{array} \right.\, \Leftrightarrow m \ne 1\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ { - 8} \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Đồ thị hàm số \(y= \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x - 3}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;3} \right\}\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x - 3}}\) có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1 và đường thẳng x=3; 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x - 3}}\) có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1 và đường thẳng x=3; 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).
A. Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=-1
B. Tiệm cận đứng y=1, tiệm cận ngang y=2
C. Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=2
D. Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang x=2
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}},\,TXD:\,x = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2; TCĐ là đường thẳng x=1.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2; TCĐ là đường thẳng x=1.
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đường thẳng x=2 là đường tiệm cận đứng, đường thẳng y=1 là đường tiệm cận ngang
B. Đường thẳng x=-2 là đường tiệm cận đứng, đường thẳng y=1 là đường tiệm cận ngang
C. Đường thẳng x=1 là đường tiệm cận đứng, đường thẳng y=-2 là đường tiệm cận ngang
D. Đường thẳng x=-2 là đường tiệm cận đứng, đường thẳng y=1 là đường tiệm cận ngang
Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) liên tục và xác định trên \(D = R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\)
Nên y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = + \infty\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = - \infty\) nên x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\)
Nên y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = + \infty\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = - \infty\) nên x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + m}}{{x - m}}\) không có tiệm cận đứng.
A. m=0
B. \(m \in \left\{ {0;1} \right\}\)
C. \(m \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
D. \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Ta nhớ tính chất sau:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{x - a}}\) có tiệm cận đứng khi \(f(a) \ne 0.\)
Điều kiện để đồ thị hàm số đã không có tiệm cận đứng là phương trình \(2{x^2} + 3x - m = 0\) có nghiệm x=m hay \(2{m^2} + 3m - m = 0\) suy ra \(m = 0 \vee m = - 1\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{x - a}}\) có tiệm cận đứng khi \(f(a) \ne 0.\)
Điều kiện để đồ thị hàm số đã không có tiệm cận đứng là phương trình \(2{x^2} + 3x - m = 0\) có nghiệm x=m hay \(2{m^2} + 3m - m = 0\) suy ra \(m = 0 \vee m = - 1\)
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 3}}\).
A. y=-1
B. x=-1
C. x=-3
D. y=1
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - x}}{{x + 3}} = - 1\)
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 3}}\) là y=-1.
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 3}}\) là y=-1.
Cho hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=-1, có tiệm cận đứng là x=0
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=1 và y=-1
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=1 và y=-1, có tiệm cận đứng là x=0
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=1, có tiệm cận đứng là x=0
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = - 1 \Rightarrow y = 1;y = - 1\) là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\) không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = - 1 \Rightarrow y = 1;y = - 1\) là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\) không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2}}{{x - n + 1}}\). Tính tổng m+n biết đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng.
A. 1
B. 0
C. -1
D. 2
Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có đường tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2}}{{x - n + 1}}\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là trục tung và trục hoành khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{n - 1}}{1} = 0\\ \frac{{m + 1}}{1} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow n - 1 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m + n = 0\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2}}{{x - n + 1}}\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là trục tung và trục hoành khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{n - 1}}{1} = 0\\ \frac{{m + 1}}{1} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow n - 1 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m + n = 0\)
Cho hai hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + {m^2} - 4}}\) và \(y = \frac{{ - x - 7}}{{x + 5}}\) . Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hai đường tiệm cận đứng của 2 đồ thị hàm số trên trùng nhau?
A. \(m \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
B. \(m \in \left\{ { - 3;3} \right\}\)
C. \(m \in \left\{ { - 2;2} \right\}\)
D. \(m \in \left\{ { 0} \right\}\)
Phương trình tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + {m^2} - 4}}\) nếu có sẽ có dạng: \(x = 4 - {m^2}\) với \(x \ne \frac{3}{2}\) (*)
Đường thẳng x=-5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x - 7}}{{x + 5}}\).
Để hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau thì \(4 - {m^2} = - 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3}\\ {m = 3} \end{array}} \right.\) .
Kiểm tra các giá trị m tìm được thỏa điều kiện (*).
Đường thẳng x=-5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x - 7}}{{x + 5}}\).
Để hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau thì \(4 - {m^2} = - 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3}\\ {m = 3} \end{array}} \right.\) .
Kiểm tra các giá trị m tìm được thỏa điều kiện (*).
Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) .
A. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=-2 làm tiệm cận ngang và đường thẳng x=-2 làm tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang và đường thẳng x=-2 làm tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=-2 làm tiệm cận ngang và đường thẳng x=2 làm tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 làm tiệm cận ngang và đường thẳng x=2 làm tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad - bc \ne 0,c \ne 0} \right)\) có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}\) và đường tiệm cận đứng là \(x = \frac{{ - d}}{c}\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-2, tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-2, tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.
Đồ thị hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận?
A. \(y = \frac{x}{{2{x^2} - 1}}\)
B. \(y = -x\)
C. \(y = \frac{x-2}{{3x +2}}\)
D. \(y =x+2- \frac{1}{{x-3}}\)
Hàm số đã thức không có tiệm cận nên B là phương án cần tìm.
A, C, D đều làm hàm phân thức, luôn có ít nhất một tiệm cận.
A, C, D đều làm hàm phân thức, luôn có ít nhất một tiệm cận.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y=1 và y=-1.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x=1 và x=-1.
Hàm số đã cho có 2 tiệm cận y = 1 và y = -1.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang.
A. m<0
B. m=0
C. m>0
D. Không tồn tại m
Nếu \(m = 0\) thì \(y = x + 1\) không có tiệm cận.
Nếu \(m < 0\) thì xét dưới mẫu số ta thấy x có điều kiện ràng buộc nên không thể xét x tới vô cùng được.
Nếu \(m > 0\) thì ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \frac{{x\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\) sẽ có 2 tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{{\sqrt m }},y = \frac{{ - 1}}{{\sqrt m }}\).
Nếu \(m < 0\) thì xét dưới mẫu số ta thấy x có điều kiện ràng buộc nên không thể xét x tới vô cùng được.
Nếu \(m > 0\) thì ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \frac{{x\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\) sẽ có 2 tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{{\sqrt m }},y = \frac{{ - 1}}{{\sqrt m }}\).
Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?
A. \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\)
B. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)
C. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\)
D. \(y = \frac{1}{{x - 1}}\)
Xét lần lượt các phương án.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = - \infty\)
Vậy hàm số này không có tiệm cận ngang, vậy A là phương án cần tìm.
Kiểm tra tương tự với các phương án còn lại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = - \infty\)
Vậy hàm số này không có tiệm cận ngang, vậy A là phương án cần tìm.
Kiểm tra tương tự với các phương án còn lại.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}}\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) và không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị (C) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
C. Đồ thị (C) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) ; \(x=-\sqrt2\) và một tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
D. Đồ thị (C) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\sqrt2\) ; \(x=-\sqrt2\) và không có tiệm cận ngang.
Ta có \({x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt 2 }\\ {x = - \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = + \infty\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = - \infty\) \(\Rightarrow x = \sqrt 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = + \infty \Rightarrow x = - \sqrt 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\) \(\Rightarrow y = 0\) là một tiệm cận ngang của đồ thì hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = + \infty\);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = - \infty\) \(\Rightarrow x = \sqrt 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = + \infty \Rightarrow x = - \sqrt 2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - x}}{{{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \frac{0}{1} = 0\) \(\Rightarrow y = 0\) là một tiệm cận ngang của đồ thì hàm số.
Đồ thị hàm số $y = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + x}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y =0\)nên đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty\) đường thẳng x=0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y =0\)nên đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty\) đường thẳng x=0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng nằm bên phải trục Oy.
A. m=0
B. \(m \ne 0\)
C. m>0
D. m<0
Khi m=0 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Khi \(m \ne 0\) thì đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng \(x = m\).
Để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nằm bên phải trục Oy thì \(m > 0\).
Khi \(m \ne 0\) thì đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng \(x = m\).
Để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nằm bên phải trục Oy thì \(m > 0\).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\) không có tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x + 2}}\) có hai tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\) chỉ có một tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\) chỉ có một tiệm cận ngang.
A đúng vì đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương không có tiệm cân.
B đúng vì đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng x=-2 và tiệm cận ngang y=1.
C sai đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\) không có tiệm cận đứng (do \({x^2} + 2 > 0\)).
D Đúng vì đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\) chỉ có 1 tiệm cận ngang là y=0.
B đúng vì đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng x=-2 và tiệm cận ngang y=1.
C sai đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\) không có tiệm cận đứng (do \({x^2} + 2 > 0\)).
D Đúng vì đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}\) chỉ có 1 tiệm cận ngang là y=0.
Đồ thị hàm số y = \frac{x}{{{x^2} - 1}} có bao nhiêu tiệm cận?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đường thẳng x=1 và x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số $y = \frac{7}{{2x + 5}}$ có bao nhiêu tiệm cận?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Đồ thị hàm số \(y = \frac{7}{{2x + 5}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - 5}}{2}\) và tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} + x + 1}\) có đường tiệm cận ngang.
A. m=-1
B. m<0
C. m>0
D. \(m = \pm 1\)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {x + m\sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + {m^2}({x^2} + x + 1)}}{{x - m\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} - {m^2}(x + 1)}}{{x - m\sqrt {{x^2} + x + 1} }} \end{array}\)
Để đồ thị hàm số y=f(x) có tiệm cận ngang thì: \(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to + \infty } = a\) hoặc \(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to - \infty } = b\) với a,b là các số thực.
Suy ra bậc của tử thức phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức.
Điều nảy xảy ra khi: \(1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Để đồ thị hàm số y=f(x) có tiệm cận ngang thì: \(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to + \infty } = a\) hoặc \(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to - \infty } = b\) với a,b là các số thực.
Suy ra bậc của tử thức phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức.
Điều nảy xảy ra khi: \(1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho công thức \(H(x) = 0,025{x^2}(30 - x)\) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc m cần tiêm cho bệnh nhân trên để huyết áp giảm nhiều nhất.
A. m=10
B. m=20
C. m=30
D. m=15
Hàm số \(y = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right),0 < x < 30\)
\(y' = 0.025x\left( {60 - 3x} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 20 \end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đặt giá trị lớn nhất tại x=20.
\(y' = 0.025x\left( {60 - 3x} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 20 \end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đặt giá trị lớn nhất tại x=20.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{(m + 1)x + 2}}{{x - n + 1}}\) nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Tính tổng m+n.
A. m+n=1
B. m+n=0
C. m+n=-1
D. m+n=2
Do đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=0 làm tiệm cận đứng nên \(- n + 1 = 0 \Leftrightarrow n = 1\)
Mặt khác đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang nên \(\frac{{m + 1}}{1} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)
Khi đó \(y=\frac{2}{x}\) và \(m+n=0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Mặt khác đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang nên \(\frac{{m + 1}}{1} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)
Khi đó \(y=\frac{2}{x}\) và \(m+n=0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}.\)
A. \(x = - 1;\,y = 3\)
B. \(y = 2;\,x = - 1\)
C. \(x = \frac{1}{3};\,y = 3\)
D. \(y = - 1;\,x = 3\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-\frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \(x=-\frac{a}{c}.\)
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{m^2}{x^2} + m - 1} }}\) có hai đường tiệm cận ngang.
A. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
B. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ {0;\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)
D. m<1
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-\frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \(x=-\frac{a}{c}.\)
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\)có hai tiệm cận đứng.
A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\)
B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ 0;-1 \right\}\)
D. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; } \right\}\)
Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì phương trình \(g(x) = m{x^2} - 2x + 3 = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta {'_{g(x)}} = 1 - 3m > 0\\ g(1) = m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0;m \ne - 1\\ m < \frac{1}{3} \end{array} \right..\)
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta {'_{g(x)}} = 1 - 3m > 0\\ g(1) = m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0;m \ne - 1\\ m < \frac{1}{3} \end{array} \right..\)
Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
A. \({M_1}\left( {1; - 1} \right);{M_2}\left( {7;5} \right)\)
B. \({M_1}\left( {1;1} \right);{M_2}\left( { - 7;5} \right)\)
C. \({M_1}\left( { - 1;1} \right);{M_2}\left( {7;5} \right)\)
D. \({M_1}\left( {1;1} \right);{M_2}\left( {7; - 5} \right)\)
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: \({\Delta _1}:x - 3 = 0\) và tiệm cận ngang \({\Delta _2}:y - 3 = 0.\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) với \({y_0} = \frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}}\,\,\,\left( {{x_0} \ne 3} \right)\). Ta có:
\(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = 2.d\left( {M,{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {{y_0} - 3} \right|\)
\(\Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {\frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}} - 3} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = - 1\\ {x_0} = 7 \end{array} \right.\)
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - 1;1} \right)\) và \({M_2}\left( {7;5} \right).\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) với \({y_0} = \frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}}\,\,\,\left( {{x_0} \ne 3} \right)\). Ta có:
\(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = 2.d\left( {M,{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {{y_0} - 3} \right|\)
\(\Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {\frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}} - 3} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = - 1\\ {x_0} = 7 \end{array} \right.\)
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - 1;1} \right)\) và \({M_2}\left( {7;5} \right).\)
Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}?\)
A. x=1
B. y=-1
C. y=2
D. x=-1
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=-1\) làm tiệm cận đứng.
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}}.\)
A. x=-3 và x=-2
B. x=-3
C. x=3 và x=2
D. x=3
Ta có: \({x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 3 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \frac{{10}}{{5 + \sqrt {15} }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} = + \infty \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4{x^2} - 4x + 1 - {x^2} - x - 3}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}} = - \frac{7}{6} \end{array}\)
Do đó chỉ có x=3 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \frac{{10}}{{5 + \sqrt {15} }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} = + \infty \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4{x^2} - 4x + 1 - {x^2} - x - 3}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}} = - \frac{7}{6} \end{array}\)
Do đó chỉ có x=3 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang.
A. \(a = 2;b = - 2\)
B. \(a = -1;b = - 2\)
C. \(a = 2;b = 2\) D
. \(a = 1;b = 2\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,(c \ne 0;ad - bc \ne 0)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_0}\) với \(x_0\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} c{x_0} + d = 0\\ a{x_0} + b \ne 0 \end{array} \right..\) Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}.\)
Suy ra:
Tiệm cận đứng \(x = \frac{2}{b} = 1 \Rightarrow b = 2.\)
Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{b} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 1.\)
Thử lại với a=1, b=2 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1, tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{1}{2}.\)
Suy ra:
Tiệm cận đứng \(x = \frac{2}{b} = 1 \Rightarrow b = 2.\)
Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{b} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 1.\)
Thử lại với a=1, b=2 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1, tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{1}{2}.\)
Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất d là tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C).
A. \(d=2\sqrt2\)
B. \(d=2\)
C. \(d=3\)
D. \(d=2\sqrt3\)
Gọi \(M\left( {m;\frac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\left( {m \ne 1} \right)\). Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x=1 và y=1 là:
\(\begin{array}{l} S = \left| {m - 1} \right| + \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 1}} - 1} \right|\\ = \left| {m - 1} \right| + \frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m - 1} \right|.\frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}}} = 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left| {m - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt 2\)
\(\begin{array}{l} S = \left| {m - 1} \right| + \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 1}} - 1} \right|\\ = \left| {m - 1} \right| + \frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m - 1} \right|.\frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}}} = 2\sqrt 2 \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left| {m - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt 2\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Đặt: \(y = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\)
Ta thấy phương trình: \(g(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt là 2, -1 đồng thời không là nghiệm của phương trình 2x+1=0.
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = - 2 \end{array}\)
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Ta thấy phương trình: \(g(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt là 2, -1 đồng thời không là nghiệm của phương trình 2x+1=0.
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = - 2 \end{array}\)
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có bao nhiêu điểm cách đều hai đường tiệm cận của nó.
A. 0
B. 4
C. 1
D. 2
Gọi \(M\left( {m;\frac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\left( {m \ne 2} \right)\).
Khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận và lần lượt là:
\({d_1} = \left| {m - 2} \right|;{d_2} = \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}\)
2 khoảng cách này bằng nhau khi:
\(\left| {m - 2} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Rightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3\)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là \({M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
Khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận và lần lượt là:
\({d_1} = \left| {m - 2} \right|;{d_2} = \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}\)
2 khoảng cách này bằng nhau khi:
\(\left| {m - 2} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Rightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3\)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là \({M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có mấy tiệm cận?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{{x - 1}} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{{x - 1}} = - 1 \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?
A. \(y = x + \sqrt {{x^2} - 1}\)
B. \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
C. \(y = \frac{x+2}{x-1}\)
D. \(y=\frac{x+2}{x^2-1}\)
Lần lượt kiểm tra các phương án ta thấy ở phương án B:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) = - \infty\)
Vậy hàm số ở phương án B không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) = - \infty\)
Vậy hàm số ở phương án B không có tiệm cận ngang.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y = \frac{{\left( {2m + 1} \right)x + 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đi qua điểm A(-2;7).
A. m=-3
B. m=-1
C. m=3
D. m=1
Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên sẽ có hai tiệm cận, ta đã xác định được tiệm cận đứng nếu có là đường thẳng là \(x=-1,\) mà đường tiệm cận đứng không đi qua điểm \(A(-2;7)\)
Do đó ta đi xét luôn đến tiệm cận ngang là \(y=2m+1\)
Để đường TCN của đồ thị hàm số đi qua \(A(-2;7)\) thì \(2m + 1 = 7 \Leftrightarrow m = 3.\)
Do đó ta đi xét luôn đến tiệm cận ngang là \(y=2m+1\)
Để đường TCN của đồ thị hàm số đi qua \(A(-2;7)\) thì \(2m + 1 = 7 \Leftrightarrow m = 3.\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi \(f(x)\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\) nên đồ thị hàm số có hai Tiệm cận ngang là \(y = 1;\,\,y = - 1.\)
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = \frac{{2x - 1}}{{\left( {m{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 4m + 1} \right)}} có đúng 1 đường tiệm cận.\emtyset
A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(\left\{ 0 \right\}\)
C. $m \in \emptyset $
D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Với m=0 thì hàm số đã cho có dạng \(y = \frac{{2x - 1}}{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{4{x^2} + 1}},\) khi đó ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{4{x^2} + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{4{x^2} + 1}} = 0\).
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y=0.
Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với \(m\ne0\) thì xét phương trình
\(\left( {m{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 4mx1} \right) = 0\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m{x^2} - 2x + 1 = 0\\ 4{x^2} + 4mx + 1 = 0 \end{array} \right.\)
Để đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận thì phương trình (*) vô nghiệm (do đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận \(y=0\))
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - m < 0\\ {\left( {2m} \right)^2} - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ - 1 < m < 1 \end{array} \right. \Rightarrow m \in \emptyset\)
Kết luận: Chỉ có m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y=0.
Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với \(m\ne0\) thì xét phương trình
\(\left( {m{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 4mx1} \right) = 0\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m{x^2} - 2x + 1 = 0\\ 4{x^2} + 4mx + 1 = 0 \end{array} \right.\)
Để đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận thì phương trình (*) vô nghiệm (do đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận \(y=0\))
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - m < 0\\ {\left( {2m} \right)^2} - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ - 1 < m < 1 \end{array} \right. \Rightarrow m \in \emptyset\)
Kết luận: Chỉ có m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng \(x=2\) làm đường tiệm cận đứng?
A. \(y = 2\)
B. \(y = x - 2 - \frac{2}{x}\)
C. \(y = \frac{{2x}}{{x - 2}}\)
D. \(y = \frac{{2x}}{{x +2}}\)
Chỉ có đáp án C hàm số không xác định tại x = 1 nên đáp án C đúng.
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}$
A. y=-1
B. y=3
C. x=-1
D. x=2
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = $\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt {m{x^2} + 4} }}$ có đúng một tiệm cận đứng.
A. m = 0
B. m = 0 hoặc m = 4
C. m = 4
D. \(0\leq m\leq 4\)
Để hàm số có đúng một Tiệm cận đứng thì phương trình \(2x + \sqrt {m{x^2} + 4} = 0\) phải có đúng một nghiệm x0 sao cho \({x_0} - 1 \ne 0.\)
Xét phương trình:
\(\begin{array}{l} 2x + \sqrt {m{x^2} + 4} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {m{x^2} + 4} = - 2x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 0\\ m{x^2} + 4 = 4{x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 0\\ (m - 4){x^2} = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 0\\ {x^2} = \frac{4}{{4 - m}} \end{array} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện:
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \sqrt {\frac{4}{{4 - m}}} \ne 1,\forall m\\ 0 \le m < 4 \end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left[ {0;4} \right)\) là giá trị m cần tìm.
Xét phương trình:
\(\begin{array}{l} 2x + \sqrt {m{x^2} + 4} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {m{x^2} + 4} = - 2x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 0\\ m{x^2} + 4 = 4{x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 0\\ (m - 4){x^2} = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 0\\ {x^2} = \frac{4}{{4 - m}} \end{array} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện:
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \sqrt {\frac{4}{{4 - m}}} \ne 1,\forall m\\ 0 \le m < 4 \end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left[ {0;4} \right)\) là giá trị m cần tìm.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số \(y = - 2{x^4} + 3{x^2} - 1\) không có tiệm cận đứng
C. Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) không có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - 3}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
Đồ thị hàm số đa thức bậc ba, bậc bốn không có tiệm cận.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 3 - \sqrt {{x^2} - 2x + 6} }}{{{x^2} - 4x + 3}}$
A. x=0; x=3
B. x = 3
C. x=1; x=3
D. x = 1
Xét hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\)
Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} g({x_0}) = 0\\ f({x_0}) \ne 0 \end{array} \right.\) Áp dụng:
Đặt: \(f(x) = 2x - 3 - \sqrt {{x^2} - 2x + 6}\)
Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Với \(x = 1 \Rightarrow f(1) = - 1 - \sqrt 5 \ne 0\)
Với \(x = 3 \Rightarrow f(3) = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1
Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} g({x_0}) = 0\\ f({x_0}) \ne 0 \end{array} \right.\) Áp dụng:
Đặt: \(f(x) = 2x - 3 - \sqrt {{x^2} - 2x + 6}\)
Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
Với \(x = 1 \Rightarrow f(1) = - 1 - \sqrt 5 \ne 0\)
Với \(x = 3 \Rightarrow f(3) = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}}\)?
A. x = 3
B. y = -2
C. y = 3
D. x = -2
Hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}}.\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x + 2}} = + \infty\)
Vậy: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x=-2.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x + 2}} = + \infty\)
Vậy: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x=-2.
Cho hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} + x + 1} $ có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. Đồ thị (C) có một tiệm đứng.
B. Đồ thị (C) có một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị (C) không có đường tiệm cận.
Ta có hàm số xác định và liên tục trên nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \infty \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \infty \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?
A. \(m \in \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
B. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
C. \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
D. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang với mọi giá trị của m.
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) có một tiệm cận đứng thì phương trình:
\({x^2} - 3x + {m^2} = 0(*)\) có duy nhất nghiệm khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
+ TH1: \(\Delta = 9 - 4m,\) Để (*) có duy nhất nghiệm thì: \(9 - 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm \frac{3}{2}.\)
Khi đó phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{3}{2} \ne 2.\)
+ TH2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
\(\left\{ \begin{array}{l} 9 - 4{m^2} > 0\\ 4 - 6 + {m^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}\\ m = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy tập hớp các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) có một tiệm cận đứng thì phương trình:
\({x^2} - 3x + {m^2} = 0(*)\) có duy nhất nghiệm khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
+ TH1: \(\Delta = 9 - 4m,\) Để (*) có duy nhất nghiệm thì: \(9 - 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm \frac{3}{2}.\)
Khi đó phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{3}{2} \ne 2.\)
+ TH2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
\(\left\{ \begin{array}{l} 9 - 4{m^2} > 0\\ 4 - 6 + {m^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}\\ m = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy tập hớp các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}.\)
A. x = 1
B. y =1
C. x = -1
D. y = -1
Hàm bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) là đường thẳng \(y=1.\)
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) là đường thẳng \(y=1.\)
Cho hàm số y = $\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}$. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 6
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}\) có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\) suy ra \(y=-1,y=1\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\sqrt 2 }^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} y = + \infty\) suy ra đồ thị hàm số bốn đường tiệm cận đứng.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\) suy ra \(y=-1,y=1\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\sqrt 2 }^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} y = + \infty\) suy ra đồ thị hàm số bốn đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0
C. Đồ thị của hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành
D. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận ngang là trục hoành
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) vậy đường thẳng y=0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số \(y = ax + \sqrt {4{x^2} + 1}\) có tiệm cận ngang.
A. \(a=-2\) hoặc \(a=\frac{1}{2}\)
B. \(a=\pm \frac{1}{2}\)
C. \(a=\pm 2\)
D. \(a=\pm 1\)
Yêu cầu bài toán tương đương với:
Tìm a để: \(\left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(1)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(2) \end{array} \right.\) với c là hằng số.
Giải sử 1 đúng thì ta suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ax + \sqrt {4{x^2} + 1} }}{x}} \right) = 0\,\,(3)\)
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax}}{x} = a;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{x} = 2\)
Vậy VT(3) bằng a+2 suy ra a=-2.
Tương tự (2) đúng suy ra a=2.
Thử lại với \(a=\pm 2\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Tìm a để: \(\left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(1)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(2) \end{array} \right.\) với c là hằng số.
Giải sử 1 đúng thì ta suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ax + \sqrt {4{x^2} + 1} }}{x}} \right) = 0\,\,(3)\)
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax}}{x} = a;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{x} = 2\)
Vậy VT(3) bằng a+2 suy ra a=-2.
Tương tự (2) đúng suy ra a=2.
Thử lại với \(a=\pm 2\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}{{\sqrt {2x + 1} - x}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {3{x^2} + 2} \ne 0\\ \sqrt {2x + 1} - x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2\) hệ phương trình có một nghiệm nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng.
Do điều kiện xác định là \(x \ge - \frac{1}{2}\) nên ta xét
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}{{\sqrt {2x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {3 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\sqrt {\frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1} \right)}} = - 1\)
\(\Rightarrow y = - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Do điều kiện xác định là \(x \ge - \frac{1}{2}\) nên ta xét
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}{{\sqrt {2x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {3 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\sqrt {\frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1} \right)}} = - 1\)
\(\Rightarrow y = - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng.
A. \(m \notin \left\{ { - 1;1} \right\}\)
B. \(m\neq 1\)
C. \(m\neq -1\)
D. Không có m
Xét mẫu \(x - m = 0\) khi x=m
Để đường thẳng x=m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử tức là \(m.m - 1 \ne 0\) nên \(m\neq 1\) và \(m\neq -1\)
Để đường thẳng x=m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử tức là \(m.m - 1 \ne 0\) nên \(m\neq 1\) và \(m\neq -1\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) có bao nhiêu tiệm cận ngang?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\)
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\)
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) có đồ thị (C). Tính khoảng cách d từ điểm A(0;5) đến tiệm cận ngang của đồ thị (C).
A. d=3
B. d=0
C. d=5
D. d=2
Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\)có tiệm cận ngang y=2.
Khoảng cách từ A(0;5) đến đường thẳng y=2 là: \(d=\left| {5{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Khoảng cách từ A(0;5) đến đường thẳng y=2 là: \(d=\left| {5{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\)
A. \(y = 1.\)
B. \(y = \frac{3}{2}.\)
C. \(y = \frac{1}{2}.\)
D. \(y = \frac{1}{3}.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số \(y= \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{{2017}}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{{2017}}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1\)
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1;y = - 1\) và không có tiệm cận đứng vì \({x^2} + x + 1 > 0,\forall x.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{{2017}}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{{2017}}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1\)
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1;y = - 1\) và không có tiệm cận đứng vì \({x^2} + x + 1 > 0,\forall x.\)
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}.\)
A. \(y = 1\)
B. \(x=\pm 1\)
C. \(x=- 1\)
D. \(x=1\)
Ta có: \(y = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=-1 làm tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=-1 làm tiệm cận đứng.
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + 1}}.\)
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
B. Đường thẳng x=1
C. Đường thẳng x= 0
D. Dường thẳng x=-1
$y = \frac{{1 - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + 1}} = \frac{{\left( {1 - {x^2} - x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}}$
\(= \frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}} = \frac{{ - x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}}.\)
Ta có: \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) > 0,\,\,\forall x\)
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(= \frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}} = \frac{{ - x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}}.\)
Ta có: \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) > 0,\,\,\forall x\)
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận?
A. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)
B. \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\)
C. \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}\)
D. \(y = \frac{1}{x}\)
Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = x - 1\) nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng.
A. \(m=0\)
B. \(m\leq 0\)
C. \(m \in \left\{ {0;4} \right\}\)
D. \(m \ge 4\)
Để hàm số có đúng một tiệm cận đứng thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ {x^2} - mx + m = 0 \end{array} \right.\) phải có có duy nhất một nghiệm.
Hay phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) có nghiệm kép khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.
Ta có: x=1 không là nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m = 0.\)
Suy ra phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) phải có nghiệm kép điều này xảy ra khi:
\(\Delta = {m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 4 \end{array} \right.\)
Hay phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) có nghiệm kép khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.
Ta có: x=1 không là nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m = 0.\)
Suy ra phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) phải có nghiệm kép điều này xảy ra khi:
\(\Delta = {m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 4 \end{array} \right.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}.\) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\)
B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
C. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\)
D. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Với m=0 thì hàm số trở thành \(y = \frac{{x - 1}}{{ - 2x + 3}}.\) Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Với \(m\neq 0\) đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\) luôn nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang.
Vậy để có ba tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng hay phương trình \(m{x^2} - 2x + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = 4 - 12m > 0\\ m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < \frac{1}{3}\\ m \ne 1 \end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m\neq 0\) đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\) luôn nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang.
Vậy để có ba tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng hay phương trình \(m{x^2} - 2x + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = 4 - 12m > 0\\ m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < \frac{1}{3}\\ m \ne 1 \end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (2;+\infty ) và thỏa mãn \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).
B. Đường thẳng y =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).
C. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).
D. Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x}\) có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3
B. 1
C. 0
D. 2
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \end{array} \right. \Rightarrow\) đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \infty \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \infty \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số y = \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}} có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Ta có \(y = f(x) = \frac{{3x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right)}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x) = - \infty \Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là các đường thẳng x=1 và x=6.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{7}{x} + \frac{6}{{{x^2}}}}} = 0 \Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}}\) có ba tiệm cận.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x) = - \infty \Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là các đường thẳng x=1 và x=6.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{7}{x} + \frac{6}{{{x^2}}}}} = 0 \Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}}\) có ba tiệm cận.
Tìm tất cả giá trị của m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}}\) có ba tiệm cận gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
A. \(0 < m < \frac{1}{2}\)
B. \(0 < m \le \frac{1}{2}\)
C. \(m \le 0\)
D. \(m \geq \frac{1}{2}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = \sqrt m\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = - \sqrt m .\)
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khi m>0
Khi \(x=-2\Rightarrow \sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} = \sqrt {1 - 2m}\)
Với \(m < \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} > 0\) thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x=-2
Với \(m = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} = 0\) ta phải thử với trường hợp \(m=\frac{1}{2}\)
\(m = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} }}{{x + 2}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x + 2}}.\)
Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi \(x \to - {2^ - }\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}{{x + 2}}\)
\(= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( { - \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} } \right) = - \infty\)
Từ đó với \(m=\frac{1}{2}\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\)
Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận khi \(0 < m \le \frac{1}{2}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = \sqrt m\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = - \sqrt m .\)
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khi m>0
Khi \(x=-2\Rightarrow \sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} = \sqrt {1 - 2m}\)
Với \(m < \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} > 0\) thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x=-2
Với \(m = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} = 0\) ta phải thử với trường hợp \(m=\frac{1}{2}\)
\(m = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} }}{{x + 2}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x + 2}}.\)
Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi \(x \to - {2^ - }\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}{{x + 2}}\)
\(= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( { - \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} } \right) = - \infty\)
Từ đó với \(m=\frac{1}{2}\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\)
Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận khi \(0 < m \le \frac{1}{2}\).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} là điểm nào trong các điểm sau?
A. (1;2)
B. (1;-1)
C. (-1;10)
D. (1;5)
Xét hàm số \(y = \frac{{5x + 1}}{{x - 1}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = + \infty\) nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=5.
Giao của hai đường tiệm cận là I(1;5) cũng là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = + \infty\) nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=5.
Giao của hai đường tiệm cận là I(1;5) cũng là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}.\)
TXĐ: \(D = ( - \infty ;1) \cup (1; = \infty ).\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2\) suy ra đường thẳng y=-2 là TCN của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\) suy ra đường thẳng y=2 là TCN của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty\) suy ra đường thẳng x=1 là TCĐ của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty\) suy ra đường thẳng x=-1 là TCĐ của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận.
TXĐ: \(D = ( - \infty ;1) \cup (1; = \infty ).\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2\) suy ra đường thẳng y=-2 là TCN của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\) suy ra đường thẳng y=2 là TCN của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty\) suy ra đường thẳng x=1 là TCĐ của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty\) suy ra đường thẳng x=-1 là TCĐ của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận.
Cho hàm số y = $\frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x=1 là tiệm cận đứng và y = \frac{1}{2} là tiệm cận ngang.
A. \(a = - 1;\,b = - 2.\)
B. \(a = 1;\,b = 2.\)
C. \(a = -1;\,b = 2.\)
D. \(a = 4;\,b = 4.\)
Điều kiện để hàm số không suy biến là \(- 2a - b \ne 0.\)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm TCĐ và đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là TCN khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} a + 1 \ne 0\\ b - 2 = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2\\ a = 1 \end{array} \right..\)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm TCĐ và đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là TCN khi:
\(\left\{ \begin{array}{l} a + 1 \ne 0\\ b - 2 = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2\\ a = 1 \end{array} \right..\)
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}.\) Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < - 1 \end{array} \right.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } = - 2 \end{array} \right.\)
Suy ra đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 và y=-2 làm tiệm cận ngang.
Mặt khác:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = - \infty .\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = + \infty . \end{array}\)
Suy ra thị hàm số nhận đường thẳng x=-1 và x=3 làm tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } = - 2 \end{array} \right.\)
Suy ra đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 và y=-2 làm tiệm cận ngang.
Mặt khác:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = - \infty .\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = + \infty . \end{array}\)
Suy ra thị hàm số nhận đường thẳng x=-1 và x=3 làm tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\) có hai đường tiệm cận là đường nào sau đây?
A. \(y = - \frac{1}{2};\,x = - \frac{1}{2}\)
B. \(y = \frac{3}{2};\,x = - \frac{1}{2}\)
C. \(y = 3;\,x = - \frac{1}{2}\)
D. \(y = - \frac{1}{2};\,x = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \frac{1}{2}\) suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\, - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\, - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = - \infty\) suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{2}.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\, - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\, - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = - \infty\) suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{2}.\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng x=a và tiệm cận ngang là đường thẳng y=b. Tính giá trị của P=a+2b.
A. P=-2
B. P=2
C. P=-4
D. P=4
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = - \infty \Rightarrow x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy a+2b=-2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = - \infty \Rightarrow x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy a+2b=-2.
Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}?\)
A. \(x=-\frac{1}{2}\)
B. \(y=-1\)
C. \(y=2\)
D. \(x=1\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt x - m}}{{x - 1}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
A. \(\left( { - \infty ;\; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
B. \(\left( { - \infty ;\; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1;\;0} \right\}.\)
C. \(\left( { - \infty ;\; + \infty } \right).\)
D. \(\left( { - \infty ;\; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Tập xác định: \(D = \left[ {0;\; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y=0.
Do đó, đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận khi x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi: \(\sqrt 1 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1.\)
Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y=0.
Do đó, đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận khi x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi: \(\sqrt 1 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1.\)
Cho hàm số \(y = \frac{3}{{x + 1}}\) có đồ thị là (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. (C) có tiệm cận ngang là y=3.
B. (C) có tiệm cận ngang là y=0.
C. (C) có tiệm cận đứng là x=1.
D. (C) chỉ có một tiệm cận.
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x=-1, tiệm cận ngang là y=0 nên B đúng.
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + a}}{{{x^2} + a{x^2}}}\) có 3 đường tiệm cận.
A. \(a < 0,a \ne 1\)
B. \(a> 0\)
C. \(a \ne 0,a \ne \pm 1\)
D. \(a \ne 0,a \ne - 1\)
Ta có \(D = \backslash \left\{ {0; - a} \right\}.\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + a}}{{{x^3} + a{x^2}}}\) luôn có một tiệm cận ngang là y=0 do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = 0.\)
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.
Điều này xảy ra khi phương trình: \({x^2} + a=0\) không nhận hai nghiệm của phương trình \(x^3+ax^2\) là x=0; x=-a làm nghiệm.
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ne 0}\\ {{a^2} + a \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ne 0}\\ {a \ne - 1} \end{array}} \right.} \right.\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + a}}{{{x^3} + a{x^2}}}\) luôn có một tiệm cận ngang là y=0 do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = 0.\)
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.
Điều này xảy ra khi phương trình: \({x^2} + a=0\) không nhận hai nghiệm của phương trình \(x^3+ax^2\) là x=0; x=-a làm nghiệm.
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ne 0}\\ {{a^2} + a \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ne 0}\\ {a \ne - 1} \end{array}} \right.} \right.\)
Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}.\)
A. \(y=2\)
B. \(x=1\)
C. \(y=1\)
D. \(x=-1\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
Biết đồ thị hàm số y = \frac{{\left( {a - 2b} \right){x^2} + bx + 1}}{{{x^2} + x - b}} có đường tiệm cận đứng là x=1 và đường tiệm cận ngang là y=0. Tính S=a+2b.
A. S=6
B. S=7
C. S=8
D. S=10
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x=1 suy ra phương trình \({x^2} + x - b = 0\) có nghiệm và phương trình \(\left( {a - 2b} \right){x^2} + bx + 1 = 0\) không có nghiệm x=1.
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 1 - b = 0}\\ {a - 2b + b + 1 \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 2}\\ {a \ne 1} \end{array}} \right.} \right.\) . Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{\left( {a - 4} \right){x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\).
Hàm số có tiệm cận ngang y=0.
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {a - 4} \right){x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {a - 4} \right) + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{a - 4}}{1} = 0\)
\(\Leftrightarrow a - 4 = 0 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a + 2b = 8.\)
\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 1 - b = 0}\\ {a - 2b + b + 1 \ne 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 2}\\ {a \ne 1} \end{array}} \right.} \right.\) . Vậy hàm số có dạng \(y = \frac{{\left( {a - 4} \right){x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\).
Hàm số có tiệm cận ngang y=0.
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {a - 4} \right){x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {a - 4} \right) + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{a - 4}}{1} = 0\)
\(\Leftrightarrow a - 4 = 0 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a + 2b = 8.\)
Tìm phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{2x + 1}}.\)
A. \(y=2\)
B. \(y=-\frac{1}{2}\)
C. \(y=1\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1}\\ {y = - 1} \end{array}} \right.\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{2x + 1}} = 1}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{2x + 1}} = - 1} \end{array}} \right. \Rightarrow\)Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là đường thẳng y=1 và y=-1.
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}(C)\). Gọi S là diện tích hình chữ nhật được tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận của(C). Tìm S.
A. S=3
B. S=2
C. S=4
D. S=1
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là x=1 và y=2.
Suy ra diện tích hình chữ nhật S=1.2=2.
Suy ra diện tích hình chữ nhật S=1.2=2.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} }}\) có bao nhiêu đường đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Xét hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} }}.\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} }} = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} }} = 2\)
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và y=-2.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} }} = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} }} = 2\)
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng y=2 và y=-2.
Cho hàm số y=f(x) là hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\},\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=0, y=5 và tiệm cận đứng là x=1.
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là \({y_{CT}} = 3.\)
C. Giá trị cực đại của hàm số là \({y_{CD}} = 5.\)
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5.
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5\) nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng y=0 và y=5.
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}}?\)
A. \(y = 2.\)
B. \(y = - 2.\)
C. \(x = - 2.\)
D. \(x = 2.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } = - 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y=-2.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 2}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Ta có: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=2.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\end{array} \right.\) nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y=1 và y = -1.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=2.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\end{array} \right.\) nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y=1 và y = -1.
Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}.\)
A. \(x = 1\)
B. \(x = 3\)
C. \(x = 1\) và \(x = 3\)
D. \(y = 1\)
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{x + 3}}{{x - 3}}\)
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=3.
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=3.
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}?\)
A. \(x = 1\)
B. \(y = 1\)
C. \(y = 2\)
D. \(x = 2\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = 2.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}}.\) Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{1}{2}.\)
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}.\)
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(y = \frac{1}{2}.\)
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Xét hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} = + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} = - \infty \)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = \frac{3}{2}.\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = \frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang là \(y = \frac{3}{2}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} = + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} = - \infty \)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = \frac{3}{2}.\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = \frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang là \(y = \frac{3}{2}.\)
Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} }}{{{x^2} + x - 2}}.\)
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chính là số nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} \ne 0\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\)
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng.
\(\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} \ne 0\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\)
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng.
Tất cả đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} - 4} }}{{{x^2} - 4x + 3}}\) là:
A. \(y = 0,y = 1\) và \(x = 3\)
B. \(y = 1\) và \(x = 3\)
C. \(y = 0,x = 1\) và \(x = 3\)
D. \(y = 0\) và \(x = 3\)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4 \ge 0}\\{{x^2} - 4x + 3 \ne 0}\end{array}} \right.(*)\).
\(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} - 4} }}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{4}{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 4} } \right)}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\,(khong\,thoa\,(*))}\\{x = 3}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 3,\) tiệm cận ngang là \(y = 0.\)
\(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} - 4} }}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{4}{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 4} } \right)}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\,(khong\,thoa\,(*))}\\{x = 3}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 3,\) tiệm cận ngang là \(y = 0.\)
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\).
A. \(y = 2\).
B. \(x = - 1\).
C. \(x = 2\).
D. \(y = - 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2\).
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 2\).
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 2\).
Tìm tất cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}\).
A. \(x = - 1;x = 1;y = 1\).
B. \(x = - 1;y = 1\).
C. \(x = - 1;x = 1\).
D. \(x = - 1;x = 1;y = 0\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = 1\) .
Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = - \infty \) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \) .
Suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \).
Suy ra \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = - \infty \) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \) .
Suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \).
Suy ra \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 1.
Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) . Khi đó:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = 3}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 3.\)
Số tiệm cận đứng là số nghiệm hpt:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = 0\\\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\backslash \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\\\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2 \ne 0\end{array}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \) đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\)
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = 3}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 3.\)
Số tiệm cận đứng là số nghiệm hpt:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = 0\\\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\backslash \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\\\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2 \ne 0\end{array}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \) đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\)
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Phương trình đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) lần lượt là:
A. \(x = 1\) và \(y = 1\).
B. \(x = - 1\) và \(y = 1\).
C. \(y = 1\) và \(x = 1\).
D. \(y = 2\) và \(x = 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Tìm phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}.\)
A. \(y = 1\).
B. \(y = - 1\).
C. \(x = 1\).
D. \(y = 1\) và \(y = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = - 1\) vậy \(y = - 1\) là một đường tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = 1\) vậy \(y = 1\) là một đường tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = 1\) vậy \(y = 1\) là một đường tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4} = 0 \Rightarrow x = \pm 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm 2} y = + \infty \end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4} = 0 \Rightarrow x = \pm 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm 2} y = + \infty \end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}.\)
A. \(x = - 1\)
B. \(x = 1\)
C. \(y = 3\)
D. \(y = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = 3\) suy ra \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho trong các phương án A, B, C, D; hỏi đó là hàm nào?
A. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)
B. \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\)
C. \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\)
D. \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)
Từ đồ thị hàm số suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số vậy loại A và C.
Từ đồ thị suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên loại B.
Từ đồ thị suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên loại B.
Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}.\)
A. \(x = - 1,y = 1\)
B. \(x = 1,y = 1\)
C. \(x = 1,y = - 1\)
D. \(x = - 1,y = - 1\)
Xét hàm số \(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 1\)
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm đứng và đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 1\)
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm đứng và đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}} = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}} = \infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}} = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}} = \infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 3{\rm{x}} - 4}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Hàm số có tập xác định \(D = \left[ { - 2;2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang.
Ta có \({x^2} - 3{\rm{x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right..\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y\)không tồn tại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \)
Vậy hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 1.\)
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang.
Ta có \({x^2} - 3{\rm{x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right..\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y\)không tồn tại.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \)
Vậy hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 1.\)
Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của dồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{2 + x}}.\) Tìm tọa độ I.
A. \(I\left( { - 2; - \frac{3}{2}} \right).\)
B. \(I\left( {1;2} \right).\)
C. \(I\left( { - 2;1} \right).\)
D. \(I\left( { - 2;2} \right).\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 2,\) tiệm cận ngang là \(y = 2 \Rightarrow I\left( { - 2;2} \right).\)
Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}.\)
A. \(y = 1\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)
C. \(y = 2\)
D. \(y = 3\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^1} + 1} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{{2 + 1}}{1} = 3}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x} - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{{2 - 1}}{1} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1,y = 3.\)
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}}\) ?
A. \(x = - 2\)
B. \(y = \frac{1}{2}\)
C. \(y = - 3\)
D. \(x = - 3\)
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 3\)
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=-3 làm tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=-3 làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận?
A. \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}.\)
B. \(y = {x^4} - 5{{\rm{x}}^2} + 1.\)
C. \(y = - {x^3} + 2{\rm{x}} - 3.\)
D. \(y = - {x^4} + {x^2}.\)
Đồ thị hàm số đa thức không có tiệm cận nên loại B, C, D.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\) nhận đường thẳng x=-3 làm tiệm cận đứng và y=1 làm tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\) nhận đường thẳng x=-3 làm tiệm cận đứng và y=1 làm tiệm cận ngang.
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m}}\) có hai tiệm cận đứng.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 8\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 8\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\)
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m}}\).
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 2{\rm{x}} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta '} > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m - 1 \ne 0\\m + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\)
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 2{\rm{x}} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta '} > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m - 1 \ne 0\\m + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\)
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có phương trình lần lượt là các đường thẳng nào sau đây?
A. \(x = - 1;y = 2\)
B. \(y = - 1;y = 2\)
C. \(x = 2;y = - 1\)
D. \(x = - 1;y = 2\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) nhận đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận đứng và nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm tiệm cận ngang.
Biết rằng các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đường cong \(\left( C \right):y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}}\) và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 16.
B. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 8.
C. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
D. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 4.
Xét hàm số \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}}\)
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right];\left[ {1; + \infty } \right)/\left\{ 4 \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {4^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {4^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 6\)
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 4\)
Vậy đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \(x = 4,y = 4,y = 6\) như hình vẽ bên. Khi đó (H) là vùng được tô màu, là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}}.\)
A. \(x = \pm 1,y = 0\)
B. \(x = \pm 1,y = 1\)
C. \(y = 0\)
D. \(x = \pm 1\)
Ta có: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Với \(x = \pm 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3} - 2 = 0\)
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}}\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = 0\)
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.
Với \(x = \pm 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3} - 2 = 0\)
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}}\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = 0\)
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x - m}}\) có đường tiệm cận đứng.
A. \(m \ne 1\)
B. \(m = 1\)
C. \(\forall m \in \mathbb{R}\)
D. \(m \ne \frac{3}{2}\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT \(3x - m = 0\) không có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\)
Khi đó \(3.\frac{1}{2} - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}.\)
Khi đó \(3.\frac{1}{2} - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}.\)
Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} - 1}}.\)
A. \(x = 1,y = 0\)
B. \(y = 0\)
C. \(x = \pm 1,y = 0\)
D. \(x = \pm 1,y = 1\)
Ta có: \({x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Với \(x = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = 0 \Rightarrow y = 0\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Với \(x = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = 0 \Rightarrow y = 0\)là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 5} }}.\)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x - 1}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2 - \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x - 1}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = - 2\)
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=2 và y=-2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x - 1}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2 - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }} = - 2\)
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=2 và y=-2.
Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - mx + m}}{{{x^2} - 2mx + m + 6}}\) có đúng một tiệm cận ngang.
A. \(m \in \left\{ { - 2;3} \right\}\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right]\)
D. \(m \in \left( { - 2;3} \right)\)
Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{m}{x} + \frac{m}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{{ - 2m}}{x} + \frac{{m + 6}}{{{x^2}}}}} = 1\)
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 1.
Vậy với mọi m mà hàm số đã cho xác định, ta luôn có một tiệm cận ngang, tức là ta đi tìm điều kiện xác định của hàm số: \({x^2} - 2mx + m + 6 \ne 0\).
Phương trình VN khi \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3.\)
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 1.
Vậy với mọi m mà hàm số đã cho xác định, ta luôn có một tiệm cận ngang, tức là ta đi tìm điều kiện xác định của hàm số: \({x^2} - 2mx + m + 6 \ne 0\).
Phương trình VN khi \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3.\)
Sửa lần cuối: