Toán 12 Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + m\) (m là tham số thức) có đồ thị (C)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + m\) (m là tham số thức) có đồ thị (C). Giả sử (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) (với \({x_1} < {x_2} < {x_3}\)). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(0 < {x_1} < 1 < {x_2} < 3 < {x_3} < 4\)
B. \(1 < {x_1} < {x_2} < 3 < {x_3} < 4\)
C. \(1 < {x_1} < 3 < {x_2} < 4 < {x_3}\)
D. \({x_1} < 0 < 1 < {x_2} < 3 < {x_3} < 4\)

Đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Khi đó PT \({x^3} - 6{x^2} + 9x + m = 0\)có ba nghiệm phân biệt.
Suy ra PT \({x^3} - 6{x^2} + 9x = - m\) có ba nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng \(y = - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) tại 3 điểm phân biệt.
Xét hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
\(y' = 3{x^2} - 12{x^2} + 9\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) cắt đường thẳng y=-m tại 3 điểm khi: 0<-m<4 hay \( - 4 < m < 0.\)