Toán 12 Biết rằng đường thẳng \(d:y = - x + m\) luôn cắt đường cong

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Biết rằng đường thẳng \(d:y = - x + m\) luôn cắt đường cong \(\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. \(\sqrt 6 \)
B. \(2\sqrt 6 \)
C. \(3\sqrt 6 \)
D. 4

Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 1 - 2m = 0\)
Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai giao điểm, khi đó có \({x_1} + {x_2} = m - 4;{x_1}{x_2} = 1 - 2m\)
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_1} + m - {x_2} - m} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {m - 4} \right)}^2} - 8.\left( {1 - 2m} \right)} = \sqrt {2{m^2} + 24} \ge \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \)