Toán 12 Biết rằng đường thẳng \(d: - 3x + m\) cắt đồ thị (C)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Biết rằng đường thẳng \(d: - 3x + m\) cắt đồ thị (C): \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đồ thị (C), với \(O\left( {0;0} \right)\) là gốc tọa độ. Khi đó giá trị của tham số m thuộc tập hợp nào sau đây?
A. \(\left( { - \infty ; - 3} \right]\)
B. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 2;3} \right]\)
D. \(\left( { - 5; - 2} \right]\)

Xét phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - 3x + m \Rightarrow 2x + 1 = \left( { - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m - 1 = 0\left( 1 \right)\)
Để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tai hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 10m - 11 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > - 1}\\{m < - 11}\end{array}} \right.\)
Với điều kiện như trên thì d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_A}; - 3{x_A} + m} \right);B\left( {{x_B}; - 3{x_B} + m} \right)\)
Theo Viet ta có: \({x_A} + {x_B} = \frac{{1 + m}}{3}\)
Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \frac{{m + 1}}{9}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \frac{{ - 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 2m}}{3} = \frac{{m - 1}}{3}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m - 1}}{3}} \right)\)
Vì điểm G thuộc (C) nên \(\frac{{m - 1}}{3} = \frac{{2.\frac{{m + 1}}{9} + 1}}{{\frac{{m + 1}}{9} - 1}}\).
Giải phương trình kết hợp với điều kiện suy ra \(m \ge 3\)