Câu 1:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(2 + \left( {2 + i} \right)z = \left( {3 - 2i} \right)\overline z + i\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn của số phức liên hợp với z.
A. \(M\left( {\frac{{ - 11}}{8};\frac{5}{8}} \right)\)
B. \(M\left( {\frac{{ - 11}}{8}; - \frac{5}{8}} \right)\)
C. \(M\left( {\frac{{11}}{8}; - \frac{5}{8}} \right)\)
D. \(M\left( {\frac{{11}}{8};\frac{5}{8}} \right)\)
Câu 2:
Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {2z - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right|,\) đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
A. 1
B. \(3\sqrt 5 .\)
C. \(\sqrt 5 .\)
D. 3
Câu 3:
Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1},{z_2}\) khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\left| {{z_2}} \right| = ON\)
B. \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\)
C. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN\)
D. \(\left| {{z_2}} \right| = OM\)
Câu 4:
Cho số phức z thay đổi, luôn có \(\left| z \right| = 2\). Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 - 2i} \right)\overline z + 3i\) là:
A. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\sqrt 5 \)
B. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\)
C. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\)
D. Đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 \)
Câu 5:
Cho số phức z, w khác 0 sao cho \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = \left| w \right|\). Phần thực của số phức \(u = \frac{z}{w}\) là:
A. \(a = - \frac{1}{8}\)
B. \(a = \frac{1}{4}\)
C. \(a = 1\)
D. \(a = \frac{1}{8}\)
Câu 6:
Tìm phần thực của số phức z biết: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = 10\)
A. 10
B. 5
C. -5
D. \(\sqrt {10} \)
Câu 7:
Tìm số phức z có \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {z + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.
A. 1
B. -1
C. i
D. -i
Câu 8:
Trong mặt phẳng phức, gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = - 1 + 3i, {z_2} = 1 + 5i, {z_3} = 4 + i\). Tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành thì \(D\) là điểm biểu diễn số phức nào?
A. \(2 + i.\)
B. \(5 + 6i.\)
C. \(2 - i.\)
D. \\(3 + 4i.\)
Câu 9:
Cho số phức \(z\) có phần thực dương và thỏa \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0\). Tính môđun của z.
A. \(\left| z \right| = 2\).
B. \(\left| z \right| = 3\).
C. \(\left| z \right| = 4\).
D. \(\left| z \right| = \sqrt 7 \).
Câu 10:
Cho số phức z thỏa mãn \({\rm{w}} = \left( {z + 1} \right)\left( {\overline z - 2i} \right)\) là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng bao nhiêu?
A. \(5\pi .\)
B. \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
C. \(\frac{{5\pi }}{2}.\)
D. \(25\pi .\)
Câu 11:
Hình bên ghi lại việc biểu diễn vài số phức trong mặt phẳng số phức. Đường tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ. Một trong những số này là số nghịch đảo của E. Số đó là số nào?
A. C
B. B
C. D
D. A
Câu 12:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10.\)
A. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100\)
B. Elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
C. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)
D. Elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1\)
Câu 13:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|.\)
A. \(\max T = 8\sqrt 2 \)
B. \(\max T = 4\)
C. \(\max T = 4\sqrt 2 \)
D. \(\max T = 8\)
Câu 14:
Trên mặt phẳg tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1.\)
A. Hai đường thẳng \(y = \pm 1\), trừ điểm \(\left( {0; - 1} \right).\)
B. Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng \(x = \pm 1,y = \pm 1.\)
C. Đường tròn \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)
D. Trục Ox.
Câu 15:
Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm trong hình vẽ (kể cả biên)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| > 3}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( {2;3;} \right)}\\{\left| z \right| \le 3}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| < 3}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3; - 2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| \le 3}\end{array}} \right.\)
Câu 16:
Gọi (H) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức \(z = a + bi\,\,\)\(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} \le 1 \le a - b.\) Tính diện tích hình (H).
A. \(\frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2}.\)
B. \(\frac{\pi }{4}.\)
C. \(\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}.\)
D. \(1.\)
a có: \(\left( H \right):\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 1\\x - y \ge 1 \Leftrightarrow y \le x - 1\end{array} \right.\)
Vậy hình (H) là phần nằm trong đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\) và nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - 1.\)
Khi đó \(S = \frac{1}{4}\pi {R^2} - {S_{OAB}} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}.\)
Câu 17:
Cho số phức \(z \ne 0\) sao cho z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{1 + {z^2}}}\) là số thực. Tính \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}}.\)
A. \(\frac{1}{5}.\)
B. \(\frac{1}{2}.\)
C. \(2.\)
D. \(\frac{1}{3}.\)
Câu 18:
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}.\) Chọn mệnh đề đúng.
A. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} .\)
B. ếu \({z_1} = \overline {{z_2}} \) thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|.\) N
C.Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = {z_2}.\)
D. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì các điểm biểu diễn cho \({z_1}\) và \({z_2}\) tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Câu 19:
Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 3 + 2i\), \({z_2} = 3 - 2i,{z_3} = - 3 - 2i\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. B và C đối xứng nhau qua trục tung.
B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1;\frac{2}{3}} \right).\)
C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
D. A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} .\)
Câu 20:
Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Tính môđun của số phức \(w = z - 1.\)
A. \(\left| w \right| = \sqrt {13} \)
B. \(\left| w \right| = 4\)
C. \(\left| w \right| = \sqrt {10} \)
D. \(\left| w \right| = 2\sqrt 5 \)
Câu 21:
Trong mặt phẳng phức \(A\left( { - 4;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 6;0} \right)\) lần lượt biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) . Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức nào sau đây?
A. \(z=3 + \frac{4}{3}i\)
B. \( z=- 3 + \frac{4}{3}i\)
C. \(z=3 - \frac{4}{3}i\)
D. \(z= - 3 - \frac{4}{3}i\)
Câu 22:
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right|\)là:
A. Elip \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)
B. Parabol \({y^2} = 4{\rm{x}}\)
C. Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4 = 0\)
D. Đường thẳng \(6{\rm{x}} + 8y - 25 = 0\)
Câu 23:
Cho số phức \(z = 2i.\) Hỏi điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q như hình bên?
A. M
B. N
C. P
D. Q
Câu 24:
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4\) là một đường tròn. Tính chu vi C của đường tròn đó.
A. \(C = 4\pi .\)
B. \(C = 2\pi .\)
C. \(C = 8\pi .\)
D. \(C = 16\pi .\)
Câu 25:
Biết số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) có mô đun nhỏ nhất. Tính \(M = {a^2} + {b^2}.\)
A. M=10
B. M=16
C. M=26
D. M=8
Câu 26:
Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để \(\left| {2z - \overline z } \right| \le 3\) số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).
A. \(3\pi \)
B. \(\frac{3}{2}\pi \)
C. \(\frac{3}{4}\pi \)
D. \(6\pi \)
Câu 27:
Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z sao cho \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\)
A. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
B. \(\left\{ {\left( {x;y} \right),x + y = 0} \right\}\)
C. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
D. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\}\)
Câu 28:
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và điểm B là điểm biểu diễn số phức \(z' = 2 + 3i.\)Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\)
Câu 29:
Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo.
A. Trục tung, bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
B. Trục hoành, bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
C. Đường thẳng \(y = 1\), bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
D. Đường thẳng \(x = - 1\), bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
Câu 30:
Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực.
A. \(z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
B. \(z = 1 + 2i.\)
C. \(z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i.\)
D. \(z = 1 - 2i.\)
Câu 31:
Cho số phức z có môđun \(\left| z \right| = 1\,\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {1 + z} \right| + 3\left| {1 - z} \right|\) là
A. \(3\sqrt {10} \,\)
B. \(2\sqrt {10} \)
C. 6
D. \(4\sqrt 2 \)
Câu 32:
Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {z + 1 - i} \right|\) là:
A. 2
B. \(2\sqrt 2 .\)
C. \(\sqrt 2 .\)
D. 8
Câu 33:
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right|.\)
A. 6
B. 4
C. \(8\sqrt 2 \)
D. \(4\sqrt 2 \)
Câu 34:
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\). Tìm số phức z có mô đun bé nhất.
A. z = 2 + 2i
B. z = 2 + i
C. z = 1 + 3i
D. z = 3 + i
Câu 35:
Cho số phức z có môđun là 3, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn thì có bán kính bao nhiêu?
A. \(R = 3\sqrt 2 \)
B. \(R = 3\sqrt 5 \)
C. \(R = 3\sqrt 3 \)
D. \(R = 3\sqrt 7 \)
Câu 36:
Cho các số phức z thoả mãn |z-i|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(2+i)z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó.
A. I(1;-2)
B. I(1;1)
C. I(0;1)
D. I(-1;2)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(2 + \left( {2 + i} \right)z = \left( {3 - 2i} \right)\overline z + i\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn của số phức liên hợp với z.
A. \(M\left( {\frac{{ - 11}}{8};\frac{5}{8}} \right)\)
B. \(M\left( {\frac{{ - 11}}{8}; - \frac{5}{8}} \right)\)
C. \(M\left( {\frac{{11}}{8}; - \frac{5}{8}} \right)\)
D. \(M\left( {\frac{{11}}{8};\frac{5}{8}} \right)\)
Đặt: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\)
Thay vào ta có: \(2 + \left( {2 + i} \right)\left( {a + bi} \right) = \left( {3 - 2i} \right)\left( {a - bi} \right) + i\)
\( \Leftrightarrow \left( {2a - b + 2} \right) + \left( {a + 2b} \right)i = 3a - 2b + \left( { - 2a - 3b + 1} \right)i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b + 2 = 3a - 2b}\\{a + 2b = - 2a - 3b + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = - 2}\\{3a + 5b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{11}}{8}}\\{b = \frac{{ - 5}}{8}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \overline z = \frac{{11}}{8} + \frac{5}{8}i \Rightarrow M\left( {\frac{{11}}{8};\frac{5}{8}} \right).\)
Thay vào ta có: \(2 + \left( {2 + i} \right)\left( {a + bi} \right) = \left( {3 - 2i} \right)\left( {a - bi} \right) + i\)
\( \Leftrightarrow \left( {2a - b + 2} \right) + \left( {a + 2b} \right)i = 3a - 2b + \left( { - 2a - 3b + 1} \right)i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b + 2 = 3a - 2b}\\{a + 2b = - 2a - 3b + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = - 2}\\{3a + 5b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{11}}{8}}\\{b = \frac{{ - 5}}{8}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \overline z = \frac{{11}}{8} + \frac{5}{8}i \Rightarrow M\left( {\frac{{11}}{8};\frac{5}{8}} \right).\)
Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {2z - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right|,\) đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn có tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)
A. 1
B. \(3\sqrt 5 .\)
C. \(\sqrt 5 .\)
D. 3
Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó: \(\left| {2{\rm{z}} - 1} \right| = \left| {\overline z + 1 + i} \right| \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1 + 2yi} \right| = \left| {x + 1 + \left( {1 - y} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} + 4{y^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2} \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + 3{y^2} - 6{\rm{x}} + 2y - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Mà điểm biểu diễn \({M_z} \in \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0;y = - 1\\x = 2;y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 .\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^2} + 4{y^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {1 - y} \right)^2} \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + 3{y^2} - 6{\rm{x}} + 2y - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Mà điểm biểu diễn \({M_z} \in \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0;y = - 1\\x = 2;y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 .\)
Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1},{z_2}\) khác 0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\left| {{z_2}} \right| = ON\)
B. \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN\)
C. \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN\)
D. \(\left| {{z_2}} \right| = OM\)
Ta có A và D là khẳng định đúng.
Gọi M(a;b) điểm biểu diễn số phức z=a+bi, N(c;d) là điểm biểu diễn số phức z=c+di.
Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + {{(d - b)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{(b - d)}^2}} = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|.\)
Do đó C đúng.
Vậy:\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN\) là khẳng định sai.
Gọi M(a;b) điểm biểu diễn số phức z=a+bi, N(c;d) là điểm biểu diễn số phức z=c+di.
Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + {{(d - b)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{(b - d)}^2}} = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|.\)
Do đó C đúng.
Vậy:\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN\) là khẳng định sai.
Cho số phức z thay đổi, luôn có \(\left| z \right| = 2\). Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 - 2i} \right)\overline z + 3i\) là:
A. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\sqrt 5 \)
B. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\)
C. Đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\)
D. Đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 \)
Giả sử \(w = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow a + bi = \left( {1 - 2i} \right)\overline z + 3i\)
\( \Rightarrow \overline z = \frac{{a + \left( {b - 3} \right)i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left[ {a + \left( {b - 3} \right)i} \right]\left( {1 + 2i} \right)}}{5} = \frac{{a - 2\left( {b - 3} \right) + \left( {2a + b - 3} \right)i}}{5}\)
\( \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \left| z \right| = \frac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2\left( {b - 3} \right)} \right]}^2} + {{\left( {2a + b - 3} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {a - 2b + 6} \right)^2} + {\left( {2a + b - 3} \right)^2} = 100\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {2a + b} \right)^2} + 12\left( {a - 2b} \right) - 6\left( {2a + b} \right) = 55\)
\( \Leftrightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 20.\)
\( \Rightarrow \overline z = \frac{{a + \left( {b - 3} \right)i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left[ {a + \left( {b - 3} \right)i} \right]\left( {1 + 2i} \right)}}{5} = \frac{{a - 2\left( {b - 3} \right) + \left( {2a + b - 3} \right)i}}{5}\)
\( \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \left| z \right| = \frac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2\left( {b - 3} \right)} \right]}^2} + {{\left( {2a + b - 3} \right)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {a - 2b + 6} \right)^2} + {\left( {2a + b - 3} \right)^2} = 100\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {2a + b} \right)^2} + 12\left( {a - 2b} \right) - 6\left( {2a + b} \right) = 55\)
\( \Leftrightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 20.\)
Cho số phức z, w khác 0 sao cho \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = \left| w \right|\). Phần thực của số phức \(u = \frac{z}{w}\) là:
A. \(a = - \frac{1}{8}\)
B. \(a = \frac{1}{4}\)
C. \(a = 1\)
D. \(a = \frac{1}{8}\)
Giả sử \(u = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}.\)
Từ giả thiết đầu bài \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = \left| w \right|.\)
Ta có hệ sau:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| u \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| w \right|}} = \frac{1}{2}}\\{\frac{{\left| {z - w} \right|}}{{\left| w \right|}} = \left| {u - 1} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = \frac{1}{4}}\\{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} - {a^2} = 2a + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{8}.\)
Từ giả thiết đầu bài \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = \left| w \right|.\)
Ta có hệ sau:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| u \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| w \right|}} = \frac{1}{2}}\\{\frac{{\left| {z - w} \right|}}{{\left| w \right|}} = \left| {u - 1} \right|}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = \frac{1}{4}}\\{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} - {a^2} = 2a + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{8}.\)
Tìm phần thực của số phức z biết: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = 10\)
A. 10
B. 5
C. -5
D. \(\sqrt {10} \)
Ta có: \(z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z\)
Đặt \(z = a + bi \Rightarrow z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z = 2a = 10 \Rightarrow a = 5.\)
Đặt \(z = a + bi \Rightarrow z + \frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} = z + \bar z = 2a = 10 \Rightarrow a = 5.\)
Tìm số phức z có \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {z + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.
A. 1
B. -1
C. i
D. -i
Đặt \(z = a + bi\) thì: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \)
Khi đó ta có: \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow b \le 1\)
\(\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2b + 1} = \sqrt {2b + 2} \le \sqrt {2.1 + 2} \le 2\)
Do đó, giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi: \(a = 0;b = 1\) và \(z = i.\)
Khi đó ta có: \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow b \le 1\)
\(\left| {z + i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2b + 1} = \sqrt {2b + 2} \le \sqrt {2.1 + 2} \le 2\)
Do đó, giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi: \(a = 0;b = 1\) và \(z = i.\)
Trong mặt phẳng phức, gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = - 1 + 3i, {z_2} = 1 + 5i, {z_3} = 4 + i\). Tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành thì \(D\) là điểm biểu diễn số phức nào?
A. \(2 + i.\)
B. \(5 + 6i.\)
C. \(2 - i.\)
D. \\(3 + 4i.\)
Gọi \(z\) là là số phức có điểm biểu diễn là \(D\).
Khi đó giác \(ABCD\) là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Suy ra: \({z_2} - {z_1} = {z_3} - z \Leftrightarrow z = {z_1} + {z_3} - {z_2} \Leftrightarrow z = 2 - i\).
Khi đó giác \(ABCD\) là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Suy ra: \({z_2} - {z_1} = {z_3} - z \Leftrightarrow z = {z_1} + {z_3} - {z_2} \Leftrightarrow z = 2 - i\).
Cho số phức \(z\) có phần thực dương và thỏa \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0\). Tính môđun của z.
A. \(\left| z \right| = 2\).
B. \(\left| z \right| = 3\).
C. \(\left| z \right| = 4\).
D. \(\left| z \right| = \sqrt 7 \).
Ta có \(\bar z - \frac{{\left( {5 + \sqrt 3 i} \right)}}{z} - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} - \left( {5 + \sqrt 3 i} \right) = z\).
Đặt \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R},\,\,a > 0\). Ta có.
\({a^2} + {b^2} - 5 - \sqrt 3 i = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 5 = a\\ - \sqrt 3 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - a - 2 = 0\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right.\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Vậy: \(z = 2 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left| z \right| = 7.\)
Đặt \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R},\,\,a > 0\). Ta có.
\({a^2} + {b^2} - 5 - \sqrt 3 i = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 5 = a\\ - \sqrt 3 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - a - 2 = 0\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 2\end{array} \right.\\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Vậy: \(z = 2 - \sqrt 3 i \Rightarrow \left| z \right| = 7.\)
Cho số phức z thỏa mãn \({\rm{w}} = \left( {z + 1} \right)\left( {\overline z - 2i} \right)\) là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng bao nhiêu?
A. \(5\pi .\)
B. \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
C. \(\frac{{5\pi }}{2}.\)
D. \(25\pi .\)
Đặt \(z = a + bi;\,\,a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow {\rm{w}} = \left( {a + 1 + bi} \right)\left( {a - bi - 2i} \right) = {a^2} + {b^2} + a + 2b - \left( {2{\rm{a}} + b + 2} \right)i.\)
Do w là số thuần ảo suy ra:\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + a + 2b = 0\\2{\rm{a}} + b + 2 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + a + 2b = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = \frac{5}{4}.\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
Do w là số thuần ảo suy ra:\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + a + 2b = 0\\2{\rm{a}} + b + 2 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + a + 2b = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = \frac{5}{4}.\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
Hình bên ghi lại việc biểu diễn vài số phức trong mặt phẳng số phức. Đường tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ. Một trong những số này là số nghịch đảo của E. Số đó là số nào?
A. C
B. B
C. D
D. A
Đặt \(z\left( E \right) = a + bi;\,\,a,b > 1 \Rightarrow \frac{1}{{z\left( E \right)}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i,\) ta thấy:
Số phức \(\frac{1}{{z\left( E \right)}}\) có phần thực lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.
Số phức \(\frac{1}{{z\left( E \right)}}\) có phần ảo nhỏ hơn 0 và lớn hơn \( - 1.\)
Số phức \(\frac{1}{{z\left( E \right)}}\) có phần thực lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.
Số phức \(\frac{1}{{z\left( E \right)}}\) có phần ảo nhỏ hơn 0 và lớn hơn \( - 1.\)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10.\)
A. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100\)
B. Elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
C. Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)
D. Elip \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1\)
Gọi \(z = x + yi\). Khi đó điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức z
Ta có \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10\)
Đặt \({F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)\), khi đó: \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}\left( { = 4} \right)\)nên tập hợp các điểm M là elip (E) có 2 tiêu cự là \({F_1};{F_2}\). Gọi (E) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a}\\{{F_1}{F_2} = 4 = 2c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{c = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} \)
Vậy tập hợp các điểm M là elip: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1.\)
Ta có \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10\)
Đặt \({F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)\), khi đó: \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}\left( { = 4} \right)\)nên tập hợp các điểm M là elip (E) có 2 tiêu cự là \({F_1};{F_2}\). Gọi (E) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a}\\{{F_1}{F_2} = 4 = 2c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{c = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} \)
Vậy tập hợp các điểm M là elip: \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{21}} = 1.\)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|.\)
A. \(\max T = 8\sqrt 2 \)
B. \(\max T = 4\)
C. \(\max T = 4\sqrt 2 \)
D. \(\max T = 8\)
Đặt \(z = x + yi\). Ta có: \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 2\)
Khi đó: \(T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {x + yi + i} \right| + \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)
\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left[ {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]} \)
\( = \sqrt {2\left( {2{x^2} - 4x + 4 + 2{y^2} + 2} \right)} = \sqrt {2\left( {2.\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right) + 4} \right)} = \sqrt {2.\left( {4 + 4} \right)} = 4\)
Vậy \(\max T = 4.\)
Khi đó: \(T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {x + yi + i} \right| + \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)
\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right).\left[ {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]} \)
\( = \sqrt {2\left( {2{x^2} - 4x + 4 + 2{y^2} + 2} \right)} = \sqrt {2\left( {2.\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right) + 4} \right)} = \sqrt {2.\left( {4 + 4} \right)} = 4\)
Vậy \(\max T = 4.\)
Trên mặt phẳg tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1.\)
A. Hai đường thẳng \(y = \pm 1\), trừ điểm \(\left( {0; - 1} \right).\)
B. Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng \(x = \pm 1,y = \pm 1.\)
C. Đường tròn \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)
D. Trục Ox.
Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow PT \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 0\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
\( \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 0\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox.
Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm trong hình vẽ (kể cả biên)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| > 3}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( {2;3;} \right)}\\{\left| z \right| \le 3}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3;2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| < 3}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3; - 2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| \le 3}\end{array}} \right.\)
Xét số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 3 \le a \le - 2\\2 \le a \le 3\end{array} \right.\\\left| z \right| \le 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3; - 2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| \le 3}\end{array}} \right..\)
Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 3 \le a \le - 2\\2 \le a \le 3\end{array} \right.\\\left| z \right| \le 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ { - 3; - 2} \right] \cup \left[ {2;3} \right]}\\{\left| z \right| \le 3}\end{array}} \right..\)
Gọi (H) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức \(z = a + bi\,\,\)\(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} \le 1 \le a - b.\) Tính diện tích hình (H).
A. \(\frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2}.\)
B. \(\frac{\pi }{4}.\)
C. \(\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}.\)
D. \(1.\)
a có: \(\left( H \right):\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 1\\x - y \ge 1 \Leftrightarrow y \le x - 1\end{array} \right.\)
Vậy hình (H) là phần nằm trong đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\) và nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - 1.\)
Khi đó \(S = \frac{1}{4}\pi {R^2} - {S_{OAB}} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}.\)
Cho số phức \(z \ne 0\) sao cho z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{1 + {z^2}}}\) là số thực. Tính \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}}.\)
A. \(\frac{1}{5}.\)
B. \(\frac{1}{2}.\)
C. \(2.\)
D. \(\frac{1}{3}.\)
Đặt \(z = a + bi\left( {b \ne 0} \right) \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi \Rightarrow \frac{z}{{1 + {z^2}}} = \frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {1 + {a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a + {a^3} - a{b^2} - 2{a^2}bi + bi + {a^2}bi - {b^3}i + 2a{b^2}i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{(a + {a^3} + a{b^2}) + ( - {a^2}b + b - {b^3})i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}} \in \mathbb{R}\end{array}\)
Hay: \(b - {b^3} - {a^2}b = 0 \Leftrightarrow b(1 - {b^2} - {a^2}) = 0 \Leftrightarrow 1 - {b^2} - {a^2} = 0\) (Do \(b \ne 0\) )
Vậy \({a^2} + {b^2} = 1.\)
Vậy: \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{a + bi}}{{1 + {a^2} - {b^2} + 2abi}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {1 + {a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{a + {a^3} - a{b^2} - 2{a^2}bi + bi + {a^2}bi - {b^3}i + 2a{b^2}i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}}\\ = \frac{{(a + {a^3} + a{b^2}) + ( - {a^2}b + b - {b^3})i}}{{{{\left( {1 + {a^2} - {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ab} \right)}^2}}} \in \mathbb{R}\end{array}\)
Hay: \(b - {b^3} - {a^2}b = 0 \Leftrightarrow b(1 - {b^2} - {a^2}) = 0 \Leftrightarrow 1 - {b^2} - {a^2} = 0\) (Do \(b \ne 0\) )
Vậy \({a^2} + {b^2} = 1.\)
Vậy: \(\frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| z \right|}^2}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}.\)
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}.\) Chọn mệnh đề đúng.
A. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} .\)
B. ếu \({z_1} = \overline {{z_2}} \) thì \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|.\) N
C.Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì \({z_1} = {z_2}.\)
D. Nếu \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\) thì các điểm biểu diễn cho \({z_1}\) và \({z_2}\) tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Ta có: \({z_1} = \overline {{z_2}} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 3 + 2i\), \({z_2} = 3 - 2i,{z_3} = - 3 - 2i\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. B và C đối xứng nhau qua trục tung.
B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1;\frac{2}{3}} \right).\)
C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
D. A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} .\)
Ta có: \(A\left( {3;2} \right),B\left( {3; - 2} \right),C\left( { - 3; - 2} \right)\), suy ra:
B và C đối xứng nhau qua trục tung
Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\)
A và B đối xứng nhau qua trục hoành
A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} \)
B và C đối xứng nhau qua trục tung
Trọng tâm của tam giác ABC là điểm \(G\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\)
A và B đối xứng nhau qua trục hoành
A, B, C nằm trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng \(\sqrt {13} \)
Cho số phức \(z = 2 - 3i\). Tính môđun của số phức \(w = z - 1.\)
A. \(\left| w \right| = \sqrt {13} \)
B. \(\left| w \right| = 4\)
C. \(\left| w \right| = \sqrt {10} \)
D. \(\left| w \right| = 2\sqrt 5 \)
Ta có \(w = z - 1 = 1 - 3i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)
Trong mặt phẳng phức \(A\left( { - 4;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 6;0} \right)\) lần lượt biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) . Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức nào sau đây?
A. \(z=3 + \frac{4}{3}i\)
B. \( z=- 3 + \frac{4}{3}i\)
C. \(z=3 - \frac{4}{3}i\)
D. \(z= - 3 - \frac{4}{3}i\)
Trọng tâm của tam giác ABC là \(G\left( { - 3;\frac{4}{3}} \right)\)
Vậy G biểu diễn số phức \(z = - 3 + \frac{4}{3}i.\)
Vậy G biểu diễn số phức \(z = - 3 + \frac{4}{3}i.\)
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right|\)là:
A. Elip \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)
B. Parabol \({y^2} = 4{\rm{x}}\)
C. Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4 = 0\)
D. Đường thẳng \(6{\rm{x}} + 8y - 25 = 0\)
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của z.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\\bar z - 3 + 4i = x - iy - 3 + 4i = \left( {x - 3} \right)\left( { - y + 4} \right)i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( { - y + 4} \right)}^2}} \)
Vậy \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( { - y + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 6x + 8y - 25 = 0.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\\bar z - 3 + 4i = x - iy - 3 + 4i = \left( {x - 3} \right)\left( { - y + 4} \right)i\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( { - y + 4} \right)}^2}} \)
Vậy \(\left| z \right| = \left| {\bar z - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( { - y + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 6x + 8y - 25 = 0.\)
Cho số phức \(z = 2i.\) Hỏi điểm biểu diễn cho số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q như hình bên?
A. M
B. N
C. P
D. Q
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là điểm M(0;2).
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4\) là một đường tròn. Tính chu vi C của đường tròn đó.
A. \(C = 4\pi .\)
B. \(C = 2\pi .\)
C. \(C = 8\pi .\)
D. \(C = 16\pi .\)
Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4 \Rightarrow \left| {x + yi - 3 + 5i} \right| = 4\)
\( \Rightarrow \left| {(x - 3) + (y + 5)i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 5)^2} = {4^2}\)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 4.\)
Khi đó: \(C = 2\pi R = 8\pi .\)
Ta có: \(\left| {z - 3 + 5i} \right| = 4 \Rightarrow \left| {x + yi - 3 + 5i} \right| = 4\)
\( \Rightarrow \left| {(x - 3) + (y + 5)i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {(y + 5)^2} = {4^2}\)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 5} \right)\) và bán kính \(R = 4.\)
Khi đó: \(C = 2\pi R = 8\pi .\)
Biết số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) có mô đun nhỏ nhất. Tính \(M = {a^2} + {b^2}.\)
A. M=10
B. M=16
C. M=26
D. M=8
\(\begin{array}{l}\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\\ \Rightarrow \left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a + b = 4\end{array}\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {4 - a} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \)
Suy ra: \(Min\left( {\left| z \right|} \right) = Min\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow M = 8\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {4 - a} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \)
Suy ra: \(Min\left( {\left| z \right|} \right) = Min\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow M = 8\)
Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để \(\left| {2z - \overline z } \right| \le 3\) số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).
A. \(3\pi \)
B. \(\frac{3}{2}\pi \)
C. \(\frac{3}{4}\pi \)
D. \(6\pi \)
Đặt \(z = x + yi\left( {x \ge 0} \right);a,b \in R \Rightarrow \left| {2z - \overline z } \right| \le 3 \Leftrightarrow \left| {x + 3yi} \right| \le 3 \Leftrightarrow {x^2} + 9{y^2} \le 9\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} \le 1\).
Do hình (H) là nửa hình Elip có \(a = 3,b = 1\).
Khi đó \(S = \frac{1}{2}{S_{elip}} = \frac{1}{2}.\left( {\pi ab} \right) = \frac{3}{2}\pi \)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} \le 1\).
Do hình (H) là nửa hình Elip có \(a = 3,b = 1\).
Khi đó \(S = \frac{1}{2}{S_{elip}} = \frac{1}{2}.\left( {\pi ab} \right) = \frac{3}{2}\pi \)
Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z sao cho \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\)
A. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
B. \(\left\{ {\left( {x;y} \right),x + y = 0} \right\}\)
C. \(\left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}\)
D. \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\}\)
Đặt \(z = x + yi;x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = {\left( {x - yi} \right)^2} \Leftrightarrow xy.i = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)
Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z là \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}.\)
Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z là \(\left\{ {\left( {x;0} \right),x \in \mathbb{R}} \right\} \cup \left\{ {\left( {0;y} \right),y \in \mathbb{R}} \right\}.\)
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và điểm B là điểm biểu diễn số phức \(z' = 2 + 3i.\)Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành
D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\)
Ta có \(A\left( {3;2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\), ta có tọa độ hai điểm trên hình như sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
Dựa vào đồ thị ta thấy A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo.
A. Trục tung, bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
B. Trục hoành, bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
C. Đường thẳng \(y = 1\), bỏ điểm \(\left( {0;1} \right)\)
D. Đường thẳng \(x = - 1\), bỏ điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
Vì bài toán liên quan đến biểu diễn số phức nên ta sẽ đặt \(z = x + iy\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Khi đó \(\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + i\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{x - i\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
Khi đó để \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\end{array} \right.\)
Vậy A là phương án đúng.
Khi đó \(\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + i\left( {y - 1} \right)}} = \frac{{x - i\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
Khi đó để \(\frac{1}{{z - i}}\) là số thuần ảo thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\frac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\end{array} \right.\)
Vậy A là phương án đúng.
Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa điều kiện \(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực.
A. \(z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
B. \(z = 1 + 2i.\)
C. \(z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i.\)
D. \(z = 1 - 2i.\)
Gọi \(z = x + yi.\)
\(\begin{array}{l}\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right) = \left( {x + yi - 2} \right)\left( {x - yi + 2i - 1} \right)\\ & & \,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - y\left( {2 - y} \right) + \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y} \right]i\end{array}\)
\(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - 2{\rm{x}}\)
Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} + 16} = \sqrt {5{{\left( {x - \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
\({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = \frac{8}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} \Rightarrow z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
\(\begin{array}{l}\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right) = \left( {x + yi - 2} \right)\left( {x - yi + 2i - 1} \right)\\ & & \,\,\,\,\,\, = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - y\left( {2 - y} \right) + \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y} \right]i\end{array}\)
\(\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2i - 1} \right)\) là số thực \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( {x - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - 2{\rm{x}}\)
Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - 2{\rm{x}}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} + 16} = \sqrt {5{{\left( {x - \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)
\({\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow x = \frac{8}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} \Rightarrow z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i.\)
Cho số phức z có môđun \(\left| z \right| = 1\,\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {1 + z} \right| + 3\left| {1 - z} \right|\) là
A. \(3\sqrt {10} \,\)
B. \(2\sqrt {10} \)
C. 6
D. \(4\sqrt 2 \)
Đặt \(z = x + yi\) ta có: \({x^2} + {y^2} = 1\)
Khi đó \(P = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + 3\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} + 3\sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} \)
\( = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \)
Xét \(f\left( x \right) = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \,\,\,\left( {x \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 2} }} - \frac{3}{{\sqrt {2 - 2x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{5}\)
Khi đó \({P_{\max }} = f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = 2\sqrt {10} .\)
Khi đó \(P = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + 3\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} + 3\sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} \)
\( = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \)
Xét \(f\left( x \right) = \sqrt {2x + 2} + 3\sqrt {2 - 2x} \,\,\,\left( {x \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 2} }} - \frac{3}{{\sqrt {2 - 2x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{5}\)
Khi đó \({P_{\max }} = f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = 2\sqrt {10} .\)
Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \({\rm{w}} = \frac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \left| {z + 1 - i} \right|\) là:
A. 2
B. \(2\sqrt 2 .\)
C. \(\sqrt 2 .\)
D. 8
Ta có w là số thực nên \(\frac{1}{{\rm{w}}} = z + \frac{2}{z}\) là số thực.
Đặt \(z = a + bi\,(a;b \in \mathbb{R})\)
Mà z không phải là số thực nên \(b \ne 0.\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\rm{w}}} = a + bi + \frac{{2\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là số thực khi \(b - \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(loai)\\{a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Tập hợp các điểm A(x,y) điểm biểu diễn z là đường tròn \(O\left( {0;0} \right);R = \sqrt 2 .\)
Ta có: \(M = \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {(x + 1) + (y - 1)i} \right| = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = AB\) với B(-1;1).
M đạt giá trị lớn nhất khi đoạn thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}A(x;y) \in \left( C \right)\\B( - 1;1) \in \left( C \right)\end{array} \right.\) nên \(A{B_{\max }} = 2R = 2\sqrt 2 .\)
Vậy \({M_{\max }} = 2\sqrt 2 .\)
Đặt \(z = a + bi\,(a;b \in \mathbb{R})\)
Mà z không phải là số thực nên \(b \ne 0.\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\rm{w}}} = a + bi + \frac{{2\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là số thực khi \(b - \frac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,(loai)\\{a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Tập hợp các điểm A(x,y) điểm biểu diễn z là đường tròn \(O\left( {0;0} \right);R = \sqrt 2 .\)
Ta có: \(M = \left| {z + 1 - i} \right| = \left| {(x + 1) + (y - 1)i} \right| = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = AB\) với B(-1;1).
M đạt giá trị lớn nhất khi đoạn thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
Ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}A(x;y) \in \left( C \right)\\B( - 1;1) \in \left( C \right)\end{array} \right.\) nên \(A{B_{\max }} = 2R = 2\sqrt 2 .\)
Vậy \({M_{\max }} = 2\sqrt 2 .\)
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right|.\)
A. 6
B. 4
C. \(8\sqrt 2 \)
D. \(4\sqrt 2 \)
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\), khi đó \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2y + 1\)
Ta có \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 5} = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
\({\left( {\sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2 + 2y - 2x + 6 + 2x - 2y} \right) = 16\)
Do đó \(M = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \le \sqrt {16} = 4 \Rightarrow {M_{\max }} = 4.\)
Ta có \(M = \left| {z - 1} \right| + \left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2x + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 5} = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
\({\left( {\sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {2 + 2y - 2x + 6 + 2x - 2y} \right) = 16\)
Do đó \(M = \sqrt {2 + 2y - 2x} + \sqrt {6 + 2x - 2y} \le \sqrt {16} = 4 \Rightarrow {M_{\max }} = 4.\)
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\). Tìm số phức z có mô đun bé nhất.
A. z = 2 + 2i
B. z = 2 + i
C. z = 1 + 3i
D. z = 3 + i
Đặt \(z = a + bi;\,\,a,b \in \mathbb{R}.\) Ta có:
\(\left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = - {\rm{a}} + 4\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - a + 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\rm{a}}^2} - 8{\rm{a}} + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge 2\sqrt 2 .\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i.\)
\(\left| {a - 2 + \left( {b - 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = - {\rm{a}} + 4\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - a + 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\rm{a}}^2} - 8{\rm{a}} + 16} = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge 2\sqrt 2 .\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i.\)
Cho số phức z có môđun là 3, biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z\) là một đường tròn thì có bán kính bao nhiêu?
A. \(R = 3\sqrt 2 \)
B. \(R = 3\sqrt 5 \)
C. \(R = 3\sqrt 3 \)
D. \(R = 3\sqrt 7 \)
\({\rm{w}} = x + yi \Rightarrow x + yi = 3 - 2i + \left( {2 - i} \right)z \Leftrightarrow \frac{{x + yi - 3 + 2i}}{{2 - i}} = z\)
\( \Rightarrow \frac{{2x + 2yi - 6 + 4i + xi - y - 3i - 2}}{5} = z \Leftrightarrow \frac{{i\left( {x + 2y + 1} \right) + 2x - y - 8}}{5} = z\)
\( \Rightarrow {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {2x - y - 8} \right)^2} = 25.9 = 5{x^2} + 5{y^2} - 30x + 20y + 65\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5.9 = {x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow R = 3\sqrt 5 .\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{2x + 2yi - 6 + 4i + xi - y - 3i - 2}}{5} = z \Leftrightarrow \frac{{i\left( {x + 2y + 1} \right) + 2x - y - 8}}{5} = z\)
\( \Rightarrow {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {2x - y - 8} \right)^2} = 25.9 = 5{x^2} + 5{y^2} - 30x + 20y + 65\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5.9 = {x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow R = 3\sqrt 5 .\end{array}\)
Cho các số phức z thoả mãn |z-i|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(2+i)z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó.
A. I(1;-2)
B. I(1;1)
C. I(0;1)
D. I(-1;2)
Đặt \({\rm{w}} = x + iy\,\,\,(x,y\, \in \mathbb{R}).\)
\(\begin{array}{l}{\rm{w}} = (2 + i)z \Leftrightarrow x + iy = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{x + iy}}{{2 + i}} = \frac{{(x + iy)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}}.\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y + ( - x + 2y)i}}{5}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}|z - i| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i - i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y - 5}}{5}i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{2x + y}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - x + 2y - 5}}{5}} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + {y^2} + 4xy + {x^2} + 4{y^2} + 25 - 4xy + 10x - 20y = 100\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 20.\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn tâm I(-1;2)
\(\begin{array}{l}{\rm{w}} = (2 + i)z \Leftrightarrow x + iy = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{x + iy}}{{2 + i}} = \frac{{(x + iy)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}}.\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y + ( - x + 2y)i}}{5}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}|z - i| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i - i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y - 5}}{5}i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{2x + y}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - x + 2y - 5}}{5}} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + {y^2} + 4xy + {x^2} + 4{y^2} + 25 - 4xy + 10x - 20y = 100\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 20.\end{array}\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn tâm I(-1;2)
Sửa lần cuối: