Câu 1:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1.\)
A. \(x < 4\)
B. \(x > \frac{3}{2}\)
C. \(4 > x > \frac{3}{2}\)
D. \(x>4\)
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left( {1;64} \right).\)
A. \(m < 0\)
B. \(m \le 0\)
C. \(m \ge 0\)
D. \(m > 0\)
Câu 3:
Hỏi phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right).\)
A. 1009 nghiệm
B. 1008 nghiệm
C. 2017 nghiệm
D. 2018 nghiệm
Câu 4:
Tìm tập hợp X gồm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(S = \mathbb{R}\) là tập nghiệm của bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m} \right).\)
A. \(X = \left[ {2;3} \right].\)
B. \(X = \left[ {3;5} \right].\)
C. \(X = \left( {2;3} \right].\)
D. \(X = \left( {3;5} \right].\)
Câu 5:
Biết rằng bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + 2{\log _{\left( {{5^x} + 2} \right)}}2 > 3\), có tập nghiệm \(S = \left( {{{\log }_a}b; + \infty } \right)\)với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và \(a \ne 1\). Tính \(P = a + 2b.\)
A. P=5
B. P=7
C. P=9
D. P=12
Câu 6:
Số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(\frac{a}{b} \in \left( {\frac{2}{3};1} \right)\)
B. \(\frac{a}{b} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)\)
C. \(\frac{a}{b} \in \left( {9;12} \right)\)
D. \(\frac{a}{b} \in \left( {9;16} \right)\)
Câu 7
Tính các nghiệm của phương trình \({\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _{\frac{1}{2}}}x - 1 = 0\) bằng:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 2
C. 4
D. 1
Câu 8
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {\log _2}x - {\log _2}(x - 2) = m có nghiệm
A. \(1 \le m < + \infty\)
B. \(1 < m < + \infty\)
C. \(0 \le m < + \infty\)
D. \(0 < m < + \infty\)
Câu 9
Tìm m để phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm biết m là số thực dương.
A. \(m = \frac{1}{{4e}}\)
B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\)
C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\)
D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\)
Câu 10
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({3^{2x - 1}} + 2{m^2} - m - 3 = 0\) có nghiệm.
A. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \frac{1}{2};0} \right)\)
C. \(m \in \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 11
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\log _2}m = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3}\) có duy nhất một nghiệm.
A. \({2^{ - 34}} \le m \le {2^2}\)
B. \(m\geq 4\) hoặc \(0 \le m \le {2^{ - 34}}\)
C. \(m>4\) hoặc \(0 < m < {2^{ - 34}}\)
D. \(m\geq 2\)
Câu 12:
Phương trình \({2^x} = {\log _2}\left( {8 - x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Câu 14:
Giải bất phương trình x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.
A. x>-1
B. x>-2
C. x>2
D. x>0
Câu 15:
Cho {\log _a}b > 0(b > 0,0 < a \ne 1). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a,b là các số thực cùng lớn hơn 1
B. a,b là các số thực cùng nhỏ hơn 1
C. a,b là các số thực cùng lớn hơn 1 hoặc cùng thuộc khoảng (0;1)
D. a là số thực lớn hơn 1 và b là số thực thuộc khoảng (0;1)
Câu 16:
Tìm m để phương trình \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m\) có nghiệm.
A. \(m \le 5\)
B. \(m \ge 4\)
C. \(m \in \left[ {4;5} \right]\)
D. \(m>0\)
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1.\)
A. \(x < 4\)
B. \(x > \frac{3}{2}\)
C. \(4 > x > \frac{3}{2}\)
D. \(x>4\)
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}5\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x - 3 > 0}\\ {2x - 3 < 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > \frac{3}{2}}\\ {x < 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 4 > x > \frac{3}{2}. \end{array}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left( {1;64} \right).\)
A. \(m < 0\)
B. \(m \le 0\)
C. \(m \ge 0\)
D. \(m > 0\)
Điều kiện \(x > 0\)
\(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x \ge - m\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {\log _2}\sqrt x \). Khi \(x \in \left( {1;64} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( {0;3} \right)\).
Ta có bất phương trình \(4{t^2} + 2t \ge - m\)
Xét \(f\left( t \right) = 4{t^2} + 2t;f'\left( t \right) = 8t + 2 > 0\) với \(\forall t \in \left( {0;3} \right)\).
Vậy phương trình có nghiệm khi \( - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0.\) .
\(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x \ge - m\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {\log _2}\sqrt x \). Khi \(x \in \left( {1;64} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( {0;3} \right)\).
Ta có bất phương trình \(4{t^2} + 2t \ge - m\)
Xét \(f\left( t \right) = 4{t^2} + 2t;f'\left( t \right) = 8t + 2 > 0\) với \(\forall t \in \left( {0;3} \right)\).
Vậy phương trình có nghiệm khi \( - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0.\) .
Hỏi phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right).\)
A. 1009 nghiệm
B. 1008 nghiệm
C. 2017 nghiệm
D. 2018 nghiệm
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cot x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Ta có: \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\cot x} \right)}^2} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x}\end{array} = {4^t}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 = 0\)
Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4} > 0\) suy ra có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy \(f\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = - 1\) là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = - 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) (do đk (1))
Ta có: \(0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < 2017 \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{3025}}{3}\).
Do k nguyên nên có 1009 giá trị của k thỏa yêu cầu.
Ta có: \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\cot x} \right)}^2} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x = {4^t}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {3^t}}\\{{{\cos }^2}x}\end{array} = {4^t}} \right.} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 = 0\)
Đặt \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4} > 0\) suy ra có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy \(f\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = - 1\) là nghiệm của phương trình
\( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = - 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) (do đk (1))
Ta có: \(0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < 2017 \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{3025}}{3}\).
Do k nguyên nên có 1009 giá trị của k thỏa yêu cầu.
Tìm tập hợp X gồm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(S = \mathbb{R}\) là tập nghiệm của bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m} \right).\)
A. \(X = \left[ {2;3} \right].\)
B. \(X = \left[ {3;5} \right].\)
C. \(X = \left( {2;3} \right].\)
D. \(X = \left( {3;5} \right].\)
\(\begin{array}{l}1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m > 0\\5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\4 - {m^2} < 0\end{array} \right.\\\left( {m - 5} \right){x^2} + 4{\rm{x}} + m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left( {m - 5} \right){x^2} + 4{\rm{x}} + m - 5 \le 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH1:[/B] \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x \le 0.\)
TH2:[/B] \(m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 < 0\\4 - {\left( {m - 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Rightarrow m \le 3.\)
Suy ra: \(2 < m \le 3 \Rightarrow X = \left( {2;3} \right].\)
TH1:[/B] \(m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 5 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x \le 0.\)
TH2:[/B] \(m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 < 0\\4 - {\left( {m - 5} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Rightarrow m \le 3.\)
Suy ra: \(2 < m \le 3 \Rightarrow X = \left( {2;3} \right].\)
Biết rằng bất phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) + 2{\log _{\left( {{5^x} + 2} \right)}}2 > 3\), có tập nghiệm \(S = \left( {{{\log }_a}b; + \infty } \right)\)với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và \(a \ne 1\). Tính \(P = a + 2b.\)
A. P=5
B. P=7
C. P=9
D. P=12
Đặt: \(t = {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right),t > 1\)
\(t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 > 0 \Leftrightarrow 0\left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 1\end{array} \right. \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) > 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {5^x} + 2 > 4 \Leftrightarrow {5^x} > 2 \Leftrightarrow x > {\log _2}2\\ \Rightarrow S = \left( {{{\log }_2}2; + \infty } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 9\end{array}\)
\(t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 > 0 \Leftrightarrow 0\left[ \begin{array}{l}t > 2\\t < 1\end{array} \right. \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} + 2} \right) > 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {5^x} + 2 > 4 \Leftrightarrow {5^x} > 2 \Leftrightarrow x > {\log _2}2\\ \Rightarrow S = \left( {{{\log }_2}2; + \infty } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 9\end{array}\)
Số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(\frac{a}{b} \in \left( {\frac{2}{3};1} \right)\)
B. \(\frac{a}{b} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)\)
C. \(\frac{a}{b} \in \left( {9;12} \right)\)
D. \(\frac{a}{b} \in \left( {9;16} \right)\)
Đặt \(t = {\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^t}\\b = {12^t}\\a + b = {16^t}\left( * \right)\end{array} \right. \Rightarrow \frac{a}{b} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow {9^t} + {12^t} = {16^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 1 = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right).\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow {9^t} + {12^t} = {16^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 1 = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right).\)
Tính các nghiệm của phương trình \({\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _{\frac{1}{2}}}x - 1 = 0\) bằng:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 2
C. 4
D. 1
\(\begin{array}{l}{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 2{\log _{\frac{1}{2}}}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}^2} - 2{{\log }_2}x - 1 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x = 1 + \sqrt 2 }\\{{{\log }_2}x = 1 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {e^{1 + \sqrt 2 }}}\\{x = {2^{1 - \sqrt 2 }}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {2^{1 + \sqrt 2 }}}\\{{x_2} = {2^{1 - \sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Suy ra \({x_1}{x_2} = {2^{1 + \sqrt 2 }}{.2^{1 - \sqrt 2 }} = 4\)
V. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số
Suy ra \({x_1}{x_2} = {2^{1 + \sqrt 2 }}{.2^{1 - \sqrt 2 }} = 4\)
V. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp Hàm Số
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {\log _2}x - {\log _2}(x - 2) = m có nghiệm
A. \(1 \le m < + \infty\)
B. \(1 < m < + \infty\)
C. \(0 \le m < + \infty\)
D. \(0 < m < + \infty\)
Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 2}}} \right) = m\\ x > 2 \end{array} \right.\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f(x)\) với \(f(x) = \frac{x}{{x - 2}}\) trên khoảng \((2;+\infty )\)
Ta có: \(f'(x) = - \frac{2}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0,\forall x > 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\)
Suy ra: \(1 < f(x) < + \infty\) \(\Rightarrow lo{g_2}f(x) \in (0; + \infty )\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0 < m < + \infty\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f(x)\) với \(f(x) = \frac{x}{{x - 2}}\) trên khoảng \((2;+\infty )\)
Ta có: \(f'(x) = - \frac{2}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0,\forall x > 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\)
Suy ra: \(1 < f(x) < + \infty\) \(\Rightarrow lo{g_2}f(x) \in (0; + \infty )\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0 < m < + \infty\)
Tìm m để phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm biết m là số thực dương.
A. \(m = \frac{1}{{4e}}\)
B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\)
C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\)
D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\)
Điều kiện x > 0
Với m > 0, xét hàm số \(f(x) = m{x^4} - \ln x = 0\) trên \((0;+\infty )\)
Ta có với x > 0 thì:
\(f'(x) = 4m{x^3} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty\)
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).
Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} - \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln (4m) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
Với m > 0, xét hàm số \(f(x) = m{x^4} - \ln x = 0\) trên \((0;+\infty )\)
Ta có với x > 0 thì:
\(f'(x) = 4m{x^3} - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
\(f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty\)
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).
Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} - \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln (4m) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({3^{2x - 1}} + 2{m^2} - m - 3 = 0\) có nghiệm.
A. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
B. \(m \in \left( { - \frac{1}{2};0} \right)\)
C. \(m \in \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\({3^{2x - 1}} + 2{m^2} - m - 3 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x - 1}} = - 2{m^2} + m + 3\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
\(- 2{m^2} + m + 3 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{3}{2}\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
\(- 2{m^2} + m + 3 > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{3}{2}\)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({\log _2}m = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3}\) có duy nhất một nghiệm.
A. \({2^{ - 34}} \le m \le {2^2}\)
B. \(m\geq 4\) hoặc \(0 \le m \le {2^{ - 34}}\)
C. \(m>4\) hoặc \(0 < m < {2^{ - 34}}\)
D. \(m\geq 2\)
Điều kiện m>0.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số:
\(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3}\) và \(y = {\log _2}m\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3},\) ta có:
\(y' = {x^2} - 4x - 5;y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 5} \end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên để phương trình có một nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l} {\log _2}m > 2\\ {\log _2}m < - 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4}\\ {0 < m < {2^{ - 34}}} \end{array}} \right..\)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số:
\(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3}\) và \(y = {\log _2}m\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 5x - \frac{2}{3},\) ta có:
\(y' = {x^2} - 4x - 5;y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 5} \end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên để phương trình có một nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l} {\log _2}m > 2\\ {\log _2}m < - 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4}\\ {0 < m < {2^{ - 34}}} \end{array}} \right..\)
Phương trình \({2^x} = {\log _2}\left( {8 - x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Điều kiện \(8 - x > 0 \Leftrightarrow x < 8\)
\({\log _2}\left( {8 - x} \right) = {2^x} \Rightarrow 8 - x = {2^{{2^x}}}\)
Nhận xét: Vế trái là hàm nghịch biến, Vế phải là hàm đồng biến nên nếu phương trình có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất.
\({\log _2}\left( {8 - x} \right) = {2^x} \Rightarrow 8 - x = {2^{{2^x}}}\)
Nhận xét: Vế trái là hàm nghịch biến, Vế phải là hàm đồng biến nên nếu phương trình có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất.
Giải bất phương trình x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.
A. x>-1
B. x>-2
C. x>2
D. x>0
ĐK: x>-1.
Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\)
\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Mặt khác \(f(2) = 3\)
Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)
Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\)
\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Mặt khác \(f(2) = 3\)
Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)
Cho {\log _a}b > 0(b > 0,0 < a \ne 1). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a,b là các số thực cùng lớn hơn 1
B. a,b là các số thực cùng nhỏ hơn 1
C. a,b là các số thực cùng lớn hơn 1 hoặc cùng thuộc khoảng (0;1)
D. a là số thực lớn hơn 1 và b là số thực thuộc khoảng (0;1)
\({\log _a}b > 0\) với \((b > 0;a \ne 1)\)
Với a > 1 thì b > a0 = 1
Với 0 < a < 1 thì 0 < b < a0 = 1
Vậy A chỉ là 1 trường hợp của bất phương trình ban đầu.
B sai do thì có thể âm suy ra \(log_{a}b\) không tồn tại.
C đúng \(x = {\log _a}b \Rightarrow b = {a^x},x > 0\) nếu a > 1 suy ra b > 1; nếu \(a \in (0;1)\)suy ra \(b \in (0;1)\)
D sai tương tự câu c, nếu a > 1 thì b > 1
Với a > 1 thì b > a0 = 1
Với 0 < a < 1 thì 0 < b < a0 = 1
Vậy A chỉ là 1 trường hợp của bất phương trình ban đầu.
B sai do thì có thể âm suy ra \(log_{a}b\) không tồn tại.
C đúng \(x = {\log _a}b \Rightarrow b = {a^x},x > 0\) nếu a > 1 suy ra b > 1; nếu \(a \in (0;1)\)suy ra \(b \in (0;1)\)
D sai tương tự câu c, nếu a > 1 thì b > 1
Tìm m để phương trình \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m\) có nghiệm.
A. \(m \le 5\)
B. \(m \ge 4\)
C. \(m \in \left[ {4;5} \right]\)
D. \(m>0\)
Ta có \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{2 - {{\cos }^2}x}} = m\)
Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow 2 \ge {2^{{{\cos }^2}x}} \ge 1\,\,(Do\,0 \le t \le 1)\)
Khi đó bất phương trình trở thành: \(t + \frac{2}{t} = m\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \frac{4}{t}\) với \(t \in \left[ {2;1} \right]\)
Ta có: \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 4}}{{{t^2}}} \le 0\left( {\forall t \in \left[ {2;1} \right]} \right)\)
Do đó: \(f\left( t \right) \in \left[ {f\left( 2 \right);f\left( 1 \right)} \right] = \left[ {4;5} \right]\)
Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in \left[ {4;5} \right]\)
Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow 2 \ge {2^{{{\cos }^2}x}} \ge 1\,\,(Do\,0 \le t \le 1)\)
Khi đó bất phương trình trở thành: \(t + \frac{2}{t} = m\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \frac{4}{t}\) với \(t \in \left[ {2;1} \right]\)
Ta có: \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 4}}{{{t^2}}} \le 0\left( {\forall t \in \left[ {2;1} \right]} \right)\)
Do đó: \(f\left( t \right) \in \left[ {f\left( 2 \right);f\left( 1 \right)} \right] = \left[ {4;5} \right]\)
Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in \left[ {4;5} \right]\)