Câu 1:
Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{a + 1}}\ln 2.\) Tính a.
A. \(a = 1.\)
B. \(a = 2.\)
C. \(a = 0.\)
D. \(a = 4.\)
Câu 2:
Cho \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x.\cos x.dx} \) và \(u = \sin x.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(I = \int\limits_0^1 {{u^2}du} .\)
B. \(I = 2\int\limits_0^1 {udu} .\)
C. \(I = - \int\limits_{ - 1}^0 {{u^2}du} .\)
D. \(I = - \int\limits_0^1 {{u^2}du} .\)
Câu 3:
Kết quả nào đúng trong các phép tính sau?
A. \(\int {\sin 2xdx = \cos 2x + C} \)
B. \(\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\cos 2x + C} \)
C. \(\int {\sin 2xdx = {{\sin }^2}x + C} \)
D. \(\int {\sin 2xdx = 2{{\cos }^2}x + C} \)
Câu 4:
Biết rằng \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = a.\pi + b + c\ln 2\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính tổng S = a + b + c.
A. \(S = \frac{{23}}{{24}}.\)
B. \(S = 1.\)
C. \(S = \frac{{13}}{{24}}.\)
D. \(S = \frac{7}{{24}}.\)
Câu 5:
Nguyên hàm \(\int {3x.{e^{{x^2}}}} dx\) bằng:
A. \(\frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C.\)
B. \(\frac{3}{2}{e^{{x^2}}} + C.\)
C. \(3{e^{{x^2}}} + C.\)
D. \(\frac{3}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} + C.\)
Câu 6:
Cho hàm số f(x) liên trục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} dx = a\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} dx\) theo a.
A. \(I = \frac{a}{3}.\)
B. \(I = a.\)
C. \(I = 3a.\)
D. \(I = 3a + 2.\)
Câu 7:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}} \) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a + b = 3.\)
B. \(a - b = 3.\)
C. \(a - b = 5.\)
D. \(a + b = 5.\)
Câu 8:
Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x}}.\)
A. \(y = 2\ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|\)
B. \(y = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right|\)
C. \(y = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|\)
D. \(y = \ln \left| {\frac{{2{x^2} - 2}}{x}} \right|\)
Câu 9:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx = 2\cot 2x + C.} \)
B. \(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}\cot 2x + C.} \)
C. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cot 2x + C.} \)
D. \(\int {f\left( x \right)dx = - \frac{1}{2}\cot 2x + C.} \)
Câu 10:
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 9} \). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {f\left( {\sin 3x} \right).\cos 3xdx} .\)
A. \(I = 5.\)
B. \(I = 9.\)
C. \(I = 3.\)
D. \(I = 2.\)
Câu 11:
Cho tích phân \(I = \int\limits_{\sqrt 3 }^3 {\frac{1}{{{x^2} + 3}}dx} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} \)
B. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {tdt} \)
C. \(I = \sqrt 3 \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} \)
D. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dt}}{t}} \)
Câu 12:
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - 5\sin x + 6}}dx} = a\ln \frac{4}{c} + b\,\,\left( {c > 0} \right)\) . Tính tổng a + b + c?
A. 3
B. 4
C. 0
D. 1
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {2f\left( {2x + 1} \right)dx} .\)
A. \(I = 24\)
B. \(I = \frac{3}{2}\)
C. \(I = 12\)
D. \(I = 6\)
Câu 14:
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2017}}}}{{{x^{2019}}}}dx} .\)
A. \(\frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{2018}}.\)
B. \(\frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{4036}}.\)
C. \(\frac{{{3^{2017}}}}{{4034}} - \frac{{{2^{2018}}}}{{2017}}.\)
D. \(\frac{{{3^{2020}} - {2^{2020}}}}{{4040}}.\)
Câu 15:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2{\rm{x}}} \right|} \right)d{\rm{x}}} .\)
A. 3
B. 6
C. \(\frac{3}{2}.\)
D. 0
Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{a + 1}}\ln 2.\) Tính a.
A. \(a = 1.\)
B. \(a = 2.\)
C. \(a = 0.\)
D. \(a = 4.\)
\(\begin{array}{l}t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2{\rm{xd}}t\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 \Rightarrow a = 1.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{1}{t}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 \Rightarrow a = 1.\end{array}\)
Cho \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}x.\cos x.dx} \) và \(u = \sin x.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(I = \int\limits_0^1 {{u^2}du} .\)
B. \(I = 2\int\limits_0^1 {udu} .\)
C. \(I = - \int\limits_{ - 1}^0 {{u^2}du} .\)
D. \(I = - \int\limits_0^1 {{u^2}du} .\)
Đặt \(u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,u = 0\\x = \frac{\pi }{2},u = 1\end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {{u^2}du.} \)
Kết quả nào đúng trong các phép tính sau?
A. \(\int {\sin 2xdx = \cos 2x + C} \)
B. \(\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\cos 2x + C} \)
C. \(\int {\sin 2xdx = {{\sin }^2}x + C} \)
D. \(\int {\sin 2xdx = 2{{\cos }^2}x + C} \)
Ta có: \(\int {\sin 2xdx} = 2\int {\sin x.\cos xdx} \)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos dx\)
\(\int {\sin 2xdx} = 2\int {tdt} = {t^2} + C = {\sin ^2}x + C.\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos dx\)
\(\int {\sin 2xdx} = 2\int {tdt} = {t^2} + C = {\sin ^2}x + C.\)
Biết rằng \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = a.\pi + b + c\ln 2\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính tổng S = a + b + c.
A. \(S = \frac{{23}}{{24}}.\)
B. \(S = 1.\)
C. \(S = \frac{{13}}{{24}}.\)
D. \(S = \frac{7}{{24}}.\)
\(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}} + 1} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {dx} = \frac{\pi }{3} + \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} \)
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{\sin x}}dx} \)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{(1 - {t^2})}}{t}} dt = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{t}} dt - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 t dt = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^1 - \left. {\frac{1}{2}{t^2}} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = - \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{8} = \ln 2 - \frac{3}{8}\)
Vậy: \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = \frac{1}{3}\pi - \frac{3}{8} + \ln 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = - \frac{3}{8},c = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = \frac{{23}}{{24}}.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x}}{{\sin x}}dx} \)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy: \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{(1 - {t^2})}}{t}} dt = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{t}} dt - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 t dt = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^1 - \left. {\frac{1}{2}{t^2}} \right|_{\frac{1}{2}}^1 = - \ln \left( {\frac{1}{2}} \right) - \frac{3}{8} = \ln 2 - \frac{3}{8}\)
Vậy: \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{co{s^3}x + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}} dx = \frac{1}{3}\pi - \frac{3}{8} + \ln 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = - \frac{3}{8},c = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = \frac{{23}}{{24}}.\)
Nguyên hàm \(\int {3x.{e^{{x^2}}}} dx\) bằng:
A. \(\frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C.\)
B. \(\frac{3}{2}{e^{{x^2}}} + C.\)
C. \(3{e^{{x^2}}} + C.\)
D. \(\frac{3}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} + C.\)
Xét nguyên hàm \(\int {3x.{e^{{x^2}}}} dx\)
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow \frac{3}{2}dt = 3xdx\)
Vậy: \(\int {3x.{e^{{x^2}}}} dx = \int {\frac{3}{2}{e^t}dt} = \frac{3}{2}{e^t} + C = \frac{3}{2}{e^{{x^2}}} + C\)
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow \frac{3}{2}dt = 3xdx\)
Vậy: \(\int {3x.{e^{{x^2}}}} dx = \int {\frac{3}{2}{e^t}dt} = \frac{3}{2}{e^t} + C = \frac{3}{2}{e^{{x^2}}} + C\)
Cho hàm số f(x) liên trục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} dx = a\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} dx\) theo a.
A. \(I = \frac{a}{3}.\)
B. \(I = a.\)
C. \(I = 3a.\)
D. \(I = 3a + 2.\)
Đặt \(t = 3x + 2 \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 2\\x = 1,t = 5\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dt} = \frac{a}{3}.\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}} \) với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a + b = 3.\)
B. \(a - b = 3.\)
C. \(a - b = 5.\)
D. \(a + b = 5.\)
\(I = \int\limits_0^4 {\frac{{d{\rm{x}}}}{{3 + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} = a + b\ln \frac{2}{3}.} \)
Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} + 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{dx}}.\)
Khi đó: \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{tdt}}{{t + 3}}} = \int\limits_1^3 {\left( {1 - \frac{3}{{t + 3}}} \right)dt} = 2 - 3\ln \frac{2}{3} = 2 + 3\ln \frac{3}{2}.\)
Do đó \(a + b = 5.\)
Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} + 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{dx}}.\)
Khi đó: \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{tdt}}{{t + 3}}} = \int\limits_1^3 {\left( {1 - \frac{3}{{t + 3}}} \right)dt} = 2 - 3\ln \frac{2}{3} = 2 + 3\ln \frac{3}{2}.\)
Do đó \(a + b = 5.\)
Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x}}.\)
A. \(y = 2\ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|\)
B. \(y = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right|\)
C. \(y = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|\)
D. \(y = \ln \left| {\frac{{2{x^2} - 2}}{x}} \right|\)
Ta có \(I = \int y dx = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x}}} dx = \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{x - \frac{1}{x}}}} dx\)
Đặt: \(t = x - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\)
Suy ra: \(I = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x - \frac{1}{x}} \right| + C = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| + C.\)
Với \(C = \ln 2\)
Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| + \ln 2 = \ln \left| {\frac{{2{x^2} - 2}}{x}} \right|.\)
Với \(C = - \ln 2\)
Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| - \ln 2 = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right|.\)
Với C=0
Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|.\)
Đặt: \(t = x - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\)
Suy ra: \(I = \int {\frac{1}{t}dt} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x - \frac{1}{x}} \right| + C = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| + C.\)
Với \(C = \ln 2\)
Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| + \ln 2 = \ln \left| {\frac{{2{x^2} - 2}}{x}} \right|.\)
Với \(C = - \ln 2\)
Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right| - \ln 2 = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{{2x}}} \right|.\)
Với C=0
Ta có \(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right|.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx = 2\cot 2x + C.} \)
B. \(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}\cot 2x + C.} \)
C. \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\cot 2x + C.} \)
D. \(\int {f\left( x \right)dx = - \frac{1}{2}\cot 2x + C.} \)
\(I = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}}} dx \).
Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)
Suy ra: \(I = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}}dt} = - \frac{1}{2}\cot t + C = - \frac{1}{2}\cot 2x + C\)
Đặt: \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)
Suy ra: \(I = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}}dt} = - \frac{1}{2}\cot t + C = - \frac{1}{2}\cot 2x + C\)
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 9} \). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {f\left( {\sin 3x} \right).\cos 3xdx} .\)
A. \(I = 5.\)
B. \(I = 9.\)
C. \(I = 3.\)
D. \(I = 2.\)
Đặt \(t = \sin 3x \Rightarrow dt = 3\cos 3xdx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,t = 0\\x = \frac{\pi }{6},t = 1\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\).
Cho tích phân \(I = \int\limits_{\sqrt 3 }^3 {\frac{1}{{{x^2} + 3}}dx} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} \)
B. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {tdt} \)
C. \(I = \sqrt 3 \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} \)
D. \(I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dt}}{t}} \)
Đặt \(x = \sqrt 3 \tan x \Rightarrow dx = \frac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}t}}dt \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 ,t = \frac{\pi }{4}\\x = 3,t = \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dt}}{{\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right){{\cos }^2}t}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dt} .\)
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - 5\sin x + 6}}dx} = a\ln \frac{4}{c} + b\,\,\left( {c > 0} \right)\) . Tính tổng a + b + c?
A. 3
B. 4
C. 0
D. 1
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\left( {\sin x} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx} \)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{t^2} - 5t + 6}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(t - 2)(t - 3)}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(t - 2)(t - 3)}}dt} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{{t - 2}}} \right)dt} \)
\( = \ln \left| {\frac{{t - 3}}{{t - 2}}} \right|_0^1 = \ln 2 - \ln \frac{3}{2} = \ln \frac{4}{3}.\)
Do đó: a = 1; b = 0; c = 3
S = a + b + c = 1 + 0 + 3 = 4.
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{t^2} - 5t + 6}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(t - 2)(t - 3)}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{(t - 2)(t - 3)}}dt} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{{t - 2}}} \right)dt} \)
\( = \ln \left| {\frac{{t - 3}}{{t - 2}}} \right|_0^1 = \ln 2 - \ln \frac{3}{2} = \ln \frac{4}{3}.\)
Do đó: a = 1; b = 0; c = 3
S = a + b + c = 1 + 0 + 3 = 4.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {2f\left( {2x + 1} \right)dx} .\)
A. \(I = 24\)
B. \(I = \frac{3}{2}\)
C. \(I = 12\)
D. \(I = 6\)
Đặt \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0;t = 1\\x = 1;t = 3\end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2017}}}}{{{x^{2019}}}}dx} .\)
A. \(\frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{2018}}.\)
B. \(\frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{4036}}.\)
C. \(\frac{{{3^{2017}}}}{{4034}} - \frac{{{2^{2018}}}}{{2017}}.\)
D. \(\frac{{{3^{2020}} - {2^{2020}}}}{{4040}}.\)
Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2017}}}}{{{x^{2019}}}}} dx = \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}^{2017}}.\frac{1}{{{x^2}}}} dx.\)
Đặt \(t = 1 + \frac{2}{x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{t - 1}} \Rightarrow d{\rm{x}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt\\{x^2} = \frac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 3\\x = 2 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(I = - \int\limits_3^2 {\frac{{{t^{2017}}.2{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_2^3 {{t^{2017}}dt} = \left. {\frac{{{t^{2018}}}}{{4036}}} \right|_2^3 = \frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{4036}}.\)
Đặt \(t = 1 + \frac{2}{x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{t - 1}} \Rightarrow d{\rm{x}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt\\{x^2} = \frac{4}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 3\\x = 2 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(I = - \int\limits_3^2 {\frac{{{t^{2017}}.2{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{4{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_2^3 {{t^{2017}}dt} = \left. {\frac{{{t^{2018}}}}{{4036}}} \right|_2^3 = \frac{{{3^{2018}} - {2^{2018}}}}{{4036}}.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2{\rm{x}}} \right|} \right)d{\rm{x}}} .\)
A. 3
B. 6
C. \(\frac{3}{2}.\)
D. 0
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} .\)
\(t = - 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = - 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
\(t = 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
\(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\)
\(t = - 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = - 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
\(t = 2{\rm{x}} \Rightarrow dt = 2{\rm{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,t = 2\\x = 0,t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)
\(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {f\left| {2{\rm{x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( { - 2{\rm{x}}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( {2{\rm{x}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3.\)