Câu 1
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O(0;0) là trọng tâm.
A. m=0
B. m=2
C. m=1
D. m=-1
Câu 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3({m^2} - 1)x\) đạt cực tiểu tại x=2.
A. \(m = - 1\)
B. \(m = \pm 1\)
C. \(m \ne \pm 1\)
D. \(m = 1\)
Câu 3
Tìm giá trị cực đại \({y_{CD}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2.\)
A. \({y_{CD}} = 2\)
B. \({y_{CD}} = 4\)
C. \({y_{CD}} = 1\)
D. \({y_{CD}} = 0\)
Câu 4
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = ax + b.\). Tính tích ab.
A. ab=-8
B. ab=-6
C. ab=4
D. ab=9
Câu 5
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) có giá trị cực đại \(y_{CD}\) và giá trị cực tiểu là \(y_{CT}.\)
Tính \(S = {y_{CD}} + {y_{CT}}.\)
A. S=0
B. S=-4
C. S=2
D. S=-2
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1 có hai điểm cực trị {x_1},{x_2} thỏa mãn \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.
A. \(m = \pm 1\)
B. \(m = \pm 2\)
C. \(m = \pm 3\)
D. \(m = \pm 4\)
Câu 7
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\) có hai điểm cực trị với hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4\)?
A. \(m = 1\) hoặc \(m = -\frac{5}{3}\)
B. \(m = -\frac{1}{3}\)
C. \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{5}{3}\)
D. \(m = \frac{5}{3}\)
Câu 8:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên R và đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x + 6} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số \(f\left( x \right)?\)
A. Đạt cực đại tại điểm \(x = 1\).
B. Đạt cực tiểu tạo điểm \(x = - 3\).
C. Đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\).
D. Đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\).
Câu 9
Cho hàm số \(y = \frac{{(m - 1){x^3}}}{3} + (m - 1){x^2} + 4x - 1\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại \(x_1\), đạt cực đại tại \(x_2\) đồng thời \(x_1<x_2\).
A. m>5
B. m=1 hoặc m=5
C. m<1 hoặc m>5
D. m<1
Câu 10:
Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A. \(y = - {x^4} + 2{x^2}\)
B. \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 7x + 2\)
C. \(y = - {x^4} - 2{x^2} + 1\)
D. \(y = {x^4} - 1\)
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O(0;0) là trọng tâm.
A. m=0
B. m=2
C. m=1
D. m=-1
\(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5\\ y' = 4{x^3} + 4(m - 4)x = 4x({x^2} + m - 4)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 4 - m(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi: \(4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4.\)
Khi đó: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = \sqrt {4 - m} ,{x_2} = - \sqrt {4 - m}\)
Giả sử các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là: \(A\left( {\sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right),{\rm{ }}\)\(B\left( {0;m + 5} \right)\), \(C\left( { - \sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right)\)
Theo bài ra ta có trọng tâm của tam giác ABC là O(0;0) nên ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 = \frac{{m + 5 + 2\left( { - {m^2} + 9m - 11} \right)}}{3}}\\ {0 = \frac{{0 + \sqrt {4 - m} - \sqrt {4 - m} }}{3}} \end{array}} \right. \Rightarrow m = 1\)
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi: \(4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4.\)
Khi đó: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = \sqrt {4 - m} ,{x_2} = - \sqrt {4 - m}\)
Giả sử các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là: \(A\left( {\sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right),{\rm{ }}\)\(B\left( {0;m + 5} \right)\), \(C\left( { - \sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right)\)
Theo bài ra ta có trọng tâm của tam giác ABC là O(0;0) nên ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 = \frac{{m + 5 + 2\left( { - {m^2} + 9m - 11} \right)}}{3}}\\ {0 = \frac{{0 + \sqrt {4 - m} - \sqrt {4 - m} }}{3}} \end{array}} \right. \Rightarrow m = 1\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3({m^2} - 1)x\) đạt cực tiểu tại x=2.
A. \(m = - 1\)
B. \(m = \pm 1\)
C. \(m \ne \pm 1\)
D. \(m = 1\)
\(y' = 3{x^2} - 6x + 3({m^2} - 1)\)
\(y'' = 6x - 6\)
Để hàm số đạt cực đại tại x=2 thì: \(\left\{ \begin{array}{l} y'(2) = 0\\ y''(2) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 1 = 0\\ 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 1 \end{array} \right.\)
Thử lại:
Với m=1 hoặc m=-1 hàm số đều đại cực đại tại x=2.
\(y'' = 6x - 6\)
Để hàm số đạt cực đại tại x=2 thì: \(\left\{ \begin{array}{l} y'(2) = 0\\ y''(2) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 1 = 0\\ 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 1 \end{array} \right.\)
Thử lại:
Với m=1 hoặc m=-1 hàm số đều đại cực đại tại x=2.
Tìm giá trị cực đại \({y_{CD}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2.\)
A. \({y_{CD}} = 2\)
B. \({y_{CD}} = 4\)
C. \({y_{CD}} = 1\)
D. \({y_{CD}} = 0\)
\(y = {x^3} - 3x + 2\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}\)
Hàm số bậc ba có hệ số của \(x^3\) dương nên điểm cực trị có hoành độ nhỏ hơn sẽ điểm cực đại.
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 4\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}\)
Hàm số bậc ba có hệ số của \(x^3\) dương nên điểm cực trị có hoành độ nhỏ hơn sẽ điểm cực đại.
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 4\)
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = ax + b.\). Tính tích ab.
A. ab=-8
B. ab=-6
C. ab=4
D. ab=9
Lưu ý: Hàm số \(f(x) = \frac{{g(x)}}{{h(x)}}\)
Với g(x) là hàm số bậc 2, h(x) là hàm số bậc nhất.
Các điểm cực trị của hàm số nàm trên đường thẳng \(y = \frac{{g'(x)}}{{h'(x)}}\)
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số có phương trình là: \(y = \frac{{2x - 4}}{1}\)
Do đó: a.b=-8.
Với g(x) là hàm số bậc 2, h(x) là hàm số bậc nhất.
Các điểm cực trị của hàm số nàm trên đường thẳng \(y = \frac{{g'(x)}}{{h'(x)}}\)
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số có phương trình là: \(y = \frac{{2x - 4}}{1}\)
Do đó: a.b=-8.
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) có giá trị cực đại \(y_{CD}\) và giá trị cực tiểu là \(y_{CT}.\)
Tính \(S = {y_{CD}} + {y_{CT}}.\)
A. S=0
B. S=-4
C. S=2
D. S=-2
TXĐ:\(D=\mathbb{R}\)
\(y = {x^3} - 3{x^2}\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Do hệ số của \(x^3\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{C{\rm T}}} = - 4,\) cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = 0.\)
Vậy: \(S = {y_{CD}} + {y_{CT}} = - 4.\)
\(y = {x^3} - 3{x^2}\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Do hệ số của \(x^3\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{C{\rm T}}} = - 4,\) cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = 0.\)
Vậy: \(S = {y_{CD}} + {y_{CT}} = - 4.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1 có hai điểm cực trị {x_1},{x_2} thỏa mãn \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2.
A. \(m = \pm 1\)
B. \(m = \pm 2\)
C. \(m = \pm 3\)
D. \(m = \pm 4\)
\(y' = - 3{x^2} + 6x + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\)
+ Hàm số (1) có hai điểm cực trị khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Điều nảy xảy ra khi: \(\Delta ' = 9{m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)(*).
+ \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\)
Trong đó: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = 1 - {m^2}\)
Nên \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow 1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\) (Thỏa (*)).
+ Hàm số (1) có hai điểm cực trị khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Điều nảy xảy ra khi: \(\Delta ' = 9{m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)(*).
+ \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\)
Trong đó: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = 1 - {m^2}\)
Nên \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow 1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\) (Thỏa (*)).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\) có hai điểm cực trị với hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4\)?
A. \(m = 1\) hoặc \(m = -\frac{5}{3}\)
B. \(m = -\frac{1}{3}\)
C. \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{5}{3}\)
D. \(m = \frac{5}{3}\)
Xét hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\), có \(y' = 2{x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2});\forall x \in \mathbb{R}\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 - 3{m^2} = 0(*)\)
Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
Hay \({\Delta _{(*)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4(1 - 3{m^2}) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0\) (I)
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m}\\ {{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}} \end{array}} \right.\)
mà \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4 \Rightarrow 2m - (1 - 3{m^2}) = 4\)
\(\Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = - \frac{5}{3}} \end{array}} \right.\)
Đối chiếu điều kiện (I), ta được \(m = 1;m = - \frac{5}{3}.\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 - 3{m^2} = 0(*)\)
Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
Hay \({\Delta _{(*)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4(1 - 3{m^2}) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0\) (I)
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m}\\ {{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}} \end{array}} \right.\)
mà \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4 \Rightarrow 2m - (1 - 3{m^2}) = 4\)
\(\Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = - \frac{5}{3}} \end{array}} \right.\)
Đối chiếu điều kiện (I), ta được \(m = 1;m = - \frac{5}{3}.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên R và đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x + 6} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số \(f\left( x \right)?\)
A. Đạt cực đại tại điểm \(x = 1\).
B. Đạt cực tiểu tạo điểm \(x = - 3\).
C. Đạt cực đại tại điểm \(x = - 3\).
D. Đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {2x + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\x = - 3\end{array} \right.\)
Do y’ đổi dấu âm sang dương khi qua điểm \(x = - 3\) nên \(x = - 3\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Do y’ đổi dấu âm sang dương khi qua điểm \(x = - 3\) nên \(x = - 3\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(y = \frac{{(m - 1){x^3}}}{3} + (m - 1){x^2} + 4x - 1\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại \(x_1\), đạt cực đại tại \(x_2\) đồng thời \(x_1<x_2\).
A. m>5
B. m=1 hoặc m=5
C. m<1 hoặc m>5
D. m<1
Xét hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\), có \(y' = 2{x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2});\forall x \in \mathbb{R}\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 - 3{m^2} = 0(*)\)
Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
Hay \({\Delta _{(*)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4(1 - 3{m^2}) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0\) (I)
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m}\\ {{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}} \end{array}} \right.\)
mà \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4 \Rightarrow 2m - (1 - 3{m^2}) = 4\)
\(\Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = - \frac{5}{3}} \end{array}} \right.\)
Đối chiếu điều kiện (I), ta được \(m = 1;m = - \frac{5}{3}.\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 - 3{m^2} = 0(*)\)
Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
Hay \({\Delta _{(*)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4(1 - 3{m^2}) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0\) (I)
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m}\\ {{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}} \end{array}} \right.\)
mà \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4 \Rightarrow 2m - (1 - 3{m^2}) = 4\)
\(\Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = - \frac{5}{3}} \end{array}} \right.\)
Đối chiếu điều kiện (I), ta được \(m = 1;m = - \frac{5}{3}.\)
Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A. \(y = - {x^4} + 2{x^2}\)
B. \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 7x + 2\)
C. \(y = - {x^4} - 2{x^2} + 1\)
D. \(y = {x^4} - 1\)
Loại B: hàm số bậc ba không thể có ba điểm cực trị.
Kiểm tra các phương án còn lại chỉ có ở phương án A, phương trình y'=0 có ba nghiệm phân biệt.
Kiểm tra các phương án còn lại chỉ có ở phương án A, phương trình y'=0 có ba nghiệm phân biệt.