Toán 12 10 Bài tập Cực Trị của Hàm Số trích trong đề thi thử toán tốt nghiệp THPT phần 14

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên nửa khoảng [-3;2) có bảng biến thiên như hình vẽ.
bảng biến thiên như hình vẽ.png

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right)} y = - 2\)
B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;2} \right)} y = 3\)
C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 1
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1
Dựa vào bảng BT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu bằng -5, cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.
Câu 2
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\) Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. Có 3 điểm cực trị
B. Không có cực trị
C. Chỉ có 1 điểm cực trị
D. Có 2 điểm cực trị
Có 3 điểm cực trị.png

Ta thấy f’(x) đổi dấu qua các điểm x=0 và x=-1 nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 3
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}x - \sqrt x .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho có một cực tiểu duy nhất là y=1.
B. Hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu duy nhất là \(y =- \frac{1}{2}\)
C. Hàm số đã cho không có cực trị.
D. Hàm số đã cho chỉ có cực đại duy nhất là \(y =- \frac{1}{2}\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{2}x - \sqrt x\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right),\) ta có: \(y'= \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}} \right),\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Mặt khác, \(y'' = \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }} \Rightarrow y''\left( 1 \right) > 0 \Rightarrow x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(y =- \frac{1}{2}\) là cực tiểu của hàm số.
Câu 4
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\forall m<1\) thì hàm số có hai điểm cực trị
B. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
C. \(\forall m \neq 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu
D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị
Ta có: \(y' = {x^2} + 2mx + \left( {2m - 1} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + \left( {2m - 1} \right) = 0\)
Khi đó \(\Delta {'_{y'}} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0 = {\left( {m - 1} \right)^2}\)
Với \(m = 1 \Rightarrow y' = 0\) có nghiệm kép suy ra hàm số không có điểm cực trị.
Với \(m \ne 1 \Rightarrow y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 5
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 3\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\), với m là tham số. Xác định tất cả giá trị của m để cho đồ thị hàm số \((C_m)\) có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung?
A. \(m \in \left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)
B. \(0 < m < 2\)
C. \(m\neq 1\)
D. \(- \frac{1}{2} < m < 1\)
Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + 2m - 1.\)
Đồ thị hàm số \((C_m)\) có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung, khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \ne 0\\ \Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right) > 0\\ P = 2m - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m > \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Câu 6
Cho đồ thị của ba hàm số \(y = f(x),y = f'(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t}\) ở hình dưới. Xác định xem \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\) tương ứng là đồ thị hàm số nào?
đạt cực trị tại các điểm.png

A. \(y = f'(x),y = f(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t}\)
B. \(y = f(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,y = f'(x)\)
C. \(y = f(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,y = f'(x)\)
D. \(y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,y = f'(x),y = f(x)\)
Từ đồ thị các hàm số ta thấy, đồ thị (C3) đạt cực trị tại các điểm mà ở đó hàm số có đồ thị (C1) đổi dấu.
Suy ra hàm số có đồ thị (C1) là đạo hàm của hàm số có đồ thị (C3).
Do đó (C) là phương án đúng.
Câu 7
Tìm điểm cực tiểu của hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\).
A. \(x=-4\)
B. \(x=4\)
C. \(x=2\)
D. \(x=-2\)
Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\)
Mặt khác, \(y'' = \frac{8}{{{x^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{y''(2) = 1}}}\\ {y''( - 2) = - 1} \end{array}} \right.\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2.
Câu 8
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1.\)
A. \(\left( {0;1} \right).\)
B. \(\left( { - 1;0} \right).\)
C. \(\left( {1;0} \right).\)
D. \(\left( { - 1;1} \right).\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) và có \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}},\,\,y'' = 12{x^2} - 4.\)
\(y'' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\)
Vì \(y''\left( 0 \right) = - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = 1.\)
Vì \(y''\left( { \pm 1} \right) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1.\)
Câu 9
Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2.\)
A. \(y_{CT}=2\)
B. \(y_{CT}=-2\)
C. \(y_{CT}=-4\)
D. \(y_{CT}=6\)
\(y' = - 3{x^2} + 6;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Tìm giá trị cực tiểu.png

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu \({y_{ct}} = y(0) = 2.\)
Câu 10:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^4} + (6m - 4){x^2} + 1 - m\) là ba đỉnh của một tam giác vuông.
A. \(m=\frac{2}{3}\)
B. \(m=\frac{1}{3}\)
C. \(m=-1\)
D. \(m=\sqrt[3]{3}\)
Xét hàm số \(y = {x^4} + (6m - 4){x^2} + 1 - m\)
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 2(6m - 4)x = {x^3} + (3m - 2)x = x({x^2} + 3m - 2\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} + 3m - 2 = 0\,(*) \end{array} \right.\)
Để hàm số có ba điểm cực trị thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} 3m - 2 \ne 0\\ 2 - 3m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}\)
Loại A và D.
Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của (*) ta có: \({x_1} = \sqrt {2 - 3m} ;{x_2} = - \sqrt {2 - 3m}\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l} y\left( {{x_1}} \right) = y({x_2}) = {(2 - 3m)^2} + (6m - 4)(2 - 3m) + 1 - m\\ = 4 - 12m + 9{m^2} + 12m - 18{m^2} - 8 + 12m + 1 - m\\ = - 9{m^2} + 11m - 3 \end{array}\)
Tọa độ 3 điểm cực trị là: \(A(0;1 - m);{\bf{B}}( - \sqrt {2 - 3m} ; - 9{m^2} + 11m - 3);C(\sqrt {2 - 3m} ; - 9{m^2} + 11m - 3);\) Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương ta có tam giác ABC cân tại A, nên nếu ABC vuông thì vuông tại A.
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(M(0; - 9{m^2} + 11m - 3)\)
Ta có: \(BC//Ox \Rightarrow BC = 2\sqrt {2 - 3m}\)
AM thuộc Oy nên: \(AM = \left| { - 9{m^2} + 11m - 3 - 1 + m} \right| = \left| { - 9{m^2} + 12m - 4} \right|\)
Do ABC là tam giác vuông nên: \(AM = \frac{1}{2}BC \Leftrightarrow \left| { - 9{m^2} + 12m - 4} \right| = \sqrt {2 - 3m}\)
Thay giá trị m ở câu B và C ta thấy \(m=\frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.
 

Bài mới