Viết phương trình mặt phẳng (P)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0.\)
B. \(x + y + z - 6 = 0.\)
C. \(3x + 2y + z - 14 = 0.\)
D. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\)

Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\)
Nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) mà \(M \in (P) \Rightarrow \frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\,\,(1)\)
Ta có \(\overrightarrow {AM} = (3 - a;2;1),\overrightarrow {BM} = (3;2 - b;1)\) và \(\overrightarrow {BC} = (0; - b;c),\overrightarrow {AC} = ( - a;0;c)\)
Mặt khác M là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\ \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c - 2b = 0\\ c - 3a = 0 \end{array} \right.(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(a = \frac{{14}}{3};b = 7;c = 14 \Rightarrow (P):3x + 2y + z - 14 = 0.\)