Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(2; - 1;6);\,B( - 1;2;4);\,I( - 1; - 3;2)\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.
A. \(3x + 7y - 6z + 35 = 0\)
B. \(3x - 7y + 6z + 35 = 0\)
C. \(3x + 7y + 6z - 35 = 0\)
D. \(- 3x + 7y + 6z - 35 = 0\)

Ta có:
\(\begin{array}{l} IA = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \\ IB = \sqrt {{0^2} + {5^2} + {2^2}} = \sqrt {29} \end{array}\)
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Vì IA=IB nên \(IM \bot AB\).
Ta có: \(M = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};5} \right);IM = \frac{{\sqrt {94} }}{2}\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).
Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH<IM hay \(IH < \frac{{\sqrt {94} }}{2}\)
Nếu H trùng với M thì \(IH = IM = \frac{{\sqrt {94} }}{2}\).
Vậy \(IH \le \frac{{\sqrt {94} }}{2}\), IH lớn nhất khi \(H \equiv M\).
Khi đó: (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {IH} = \overrightarrow {IM} = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2};3} \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{3}{2}(x - 2) + \frac{7}{2}(y + 1) + 3(z - 6) = 0\)
Hay: \(3x + 7y + 6z - 35 = 0\)