Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;5} \right)\)và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình \(3x - 2y + z + 7 = 0\) và \(5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
A. \(x + 2y + z - 5 = 0.\)
B. \(3x + 2y - 2 = 0\)
C. \(3x - 2y - 2z + 2 = 0.\)
D. \(3x - 2z = 0.\)

\({\overrightarrow n _{(P)}} = \left( {3; - 2;1} \right);\,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {5; - 4;3} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(2; - 1;5)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( {1;2;1} \right) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0\) hay \(x + 2y + z - 5 = 0\).